Le signe d'un produit de trois facteurs

1. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $$f(x)=0⟺x+1=0\text{ ou }3-x=0\text{ ou }2x-1=0.$$ On résout chacune de ces trois équations : $x+1=0$ donne $x=-1$ ; $3-x=0$ donne $x=3$ ; $2x-1=0$ donne $x=\frac{1}{2}$.

Les solutions sont donc $-1$, $\frac{1}{2}$ et $3$.

2. On étudie le signe de chaque facteur, qui est une expression affine.

$x+1$ a pour coefficient directeur $1>0$ : il est négatif avant $-1$ et positif après.

$3-x$ a pour coefficient directeur $-1<0$ : il est positif avant $3$ et négatif après.

$2x-1$ a pour coefficient directeur $2>0$ : il est négatif avant $\frac{1}{2}$ et positif après.

On range les trois valeurs interdites dans l'ordre croissant : $-1<\frac{1}{2}<3$, ce qui découpe $\mathbb{R}$ en quatre intervalles. On multiplie les signes intervalle par intervalle :

• sur $\left]-\infty ;-1\right[$ : $(x+1)<0$, $(3-x)>0$, $(2x-1)<0$ ; produit de deux facteurs négatifs et d'un positif : $f(x)>0$ ;
• sur $\left]-1;\frac{1}{2}\right[$ : $(x+1)>0$, $(3-x)>0$, $(2x-1)<0$ ; un seul facteur négatif : $f(x)<0$ ;
• sur $\left]\frac{1}{2};3\right[$ : les trois facteurs sont positifs : $f(x)>0$ ;
• sur $\left]3;+\infty \right[$ : $(x+1)>0$, $(3-x)<0$, $(2x-1)>0$ ; un seul facteur négatif : $f(x)<0$.

Le tableau de signes de $f$ est donc, de gauche à droite : $+$ sur $\left]-\infty ;-1\right[$, puis $0$ en $-1$, puis $-$ jusqu'à $\frac{1}{2}$, puis $0$ en $\frac{1}{2}$, puis $+$ jusqu'à $3$, puis $0$ en $3$, puis $-$ au-delà.

Contrôle sur un point de chaque intervalle : $f(-2)=(-1)\times 5\times (-5)=25>0$ ; $f(0)=1\times 3\times (-1)=-3<0$ ; $f(1)=2\times 2\times 1=4>0$ ; $f(4)=5\times (-1)\times 7=-35<0$. Les quatre signes sont bien ceux annoncés.

3. L'inéquation $f(x)\le 0$ demande les intervalles où $f$ est négative, bornes nulles comprises : $$S=\left[-1;\frac{1}{2}\right]\cup \left[3;+\infty \right[.$$