mathématiques (seconde) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Le signe d'un produit de trois facteurs

Représentation algébrique et graphique des fonctions · Signe d'une fonction et tableaux de signes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (x + 1) (3 - x) (2 x - 1)$ .

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f (x) = 0$ .
Dresser le tableau de signes de $f$ sur $R$ .
Résoudre l'inéquation $f (x) \leq 0$ .

Corrigé de la question 1

1. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $f (x) = 0 ⟺ x + 1 = 0 ou 3 - x = 0 ou 2 x - 1 = 0.$ On résout chacune de ces trois équations : $x + 1 = 0$ donne $x = - 1$ ; $3 - x = 0$ donne $x = 3$ ; $2 x - 1 = 0$ donne $x = \frac{1}{2}$ .

Les solutions sont donc $- 1$ , $\frac{1}{2}$ et $3$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Dresser le tableau de signes de $f$ sur $R$ .

Élève

Pour le tableau de signes, je pensais étudier le signe de $f$ directement, mais je ne sais pas par où commencer.

$f$ est un produit de trois facteurs. Que sais-tu du signe d'un produit selon le signe de chacun de ses facteurs ?

Élève

Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif, sinon il est positif.

Bien. Alors commence par le signe de chaque facteur : par exemple, pour $3 - x$ , quel est le coefficient directeur, et que t'apprend son signe sur le sens de variation ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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