Où la parabole passe au-dessus de la droite

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Courbe, lectures graphiques et appartenance d'un point

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x + 3$ , définies sur $R$ , de courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ .

Résoudre $f (x) = g (x)$ ; on pourra vérifier que $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ .
En dressant un tableau de signes, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ .

Corrigé

1. Les points communs. $f (x) = g (x) ⟺ x^{2} = 2 x + 3 ⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0.$ Vérifions la factorisation proposée : $(x - 3) (x + 1) = x^{2} + x - 3 x - 3 = x^{2} - 2 x - 3.$ L'équation devient donc $(x - 3) (x + 1) = 0$ , d'où $x = 3 ou x = - 1.$ Les deux courbes se coupent aux points $(- 1; 1)$ et $(3; 9)$ , puisque $f (- 1) = 1$ et $f (3) = 9$ .

2. La position relative. La courbe $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ là où $f (x) - g (x) > 0$ , c'est-à-dire là où $(x - 3) (x + 1) > 0$ .

Le facteur $x - 3$ s'annule en $3$ et le facteur $x + 1$ en $- 1$ , avec $- 1 < 3$ :

$x x - 3 x + 1 f (x) - g (x)] - \infty; - 1 [- - +] - 1; 3 [- + -] 3; + \infty [+ + +$

Conclusion. $C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ pour $x \in] - \infty; - 1 [\cup] 3; + \infty [.$

Contrôle. Pour $x = 0$ : $f (0) = 0$ et $g (0) = 3$ , la parabole est bien en dessous ✔. Pour $x = 4$ : $f (4) = 16$ et $g (4) = 11$ , elle est bien au-dessus ✔.

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