Trois ensembles de définition à justifier

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Images, antécédents et ensemble de définition

Énoncé

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes, en justifiant : $f (x) = \frac{x + 4}{2 x - 6}, g (x) = 3 x + 9, h (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} .$

Corrigé

La fonction $f$ . Un quotient n'existe que si son dénominateur est non nul : $2 x - 6 = 0 ⟺ 2 x = 6 ⟺ x = 3.$ La seule valeur interdite est $3$ , donc $D_{f} = R ∖ {3} =] - \infty; 3 [\cup] 3; + \infty [.$

La fonction $g$ . Une racine carrée n'existe que si ce qui est sous le radical est positif ou nul : $3 x + 9 \geq 0 ⟺ 3 x \geq - 9 ⟺ x \geq - 3.$ Donc $D_{g} = [- 3; + \infty [.$

La fonction $h$ . Il faut $x^{2} - 4 \neq = 0$ . Or $x^{2} - 4 = 0 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = 2 ou x = - 2.$ Il y a donc deux valeurs interdites : $D_{h} = R ∖ {- 2; 2} .$

Attention. Le numérateur $x^{2}$ n'impose aucune condition : c'est un carré, il existe pour tout réel. Seul le dénominateur restreint le domaine. En particulier $h (0) = \frac{0}{- 4} = 0$ existe bien.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.