Trois images, puis deux séries d'antécédents

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Images, antécédents et ensemble de définition

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

Calculer $f (0)$ , $f (- 2)$ et $f (\frac{1}{2})$ .
Vérifier que $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ , puis déterminer les antécédents de $0$ par $f$ .
Déterminer les antécédents de $2$ par $f$ .

Corrigé

1. Les images. On remplace $x$ par la valeur voulue. $f (0) = 0 - 0 + 2 = 2.$ $f (- 2) = (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12.$ $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4} .$

2. La factorisation. On développe le produit proposé : $(x - 1) (x - 2) = x^{2} - 2 x - x + 2 = x^{2} - 3 x + 2.$ L'égalité est donc vraie pour tout réel $x$ .

Les antécédents de $0$ . Ce sont les solutions de $f (x) = 0$ , c'est-à-dire $(x - 1) (x - 2) = 0.$ Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x - 1 = 0 ou x - 2 = 0, soit x = 1 ou x = 2.$ Le nombre $0$ a donc deux antécédents : $1$ et $2$ .

3. Les antécédents de $2$ . On résout $f (x) = 2$ : $x^{2} - 3 x + 2 = 2 ⟺ x^{2} - 3 x = 0 ⟺ x (x - 3) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3.$ Le nombre $2$ a donc deux antécédents : $0$ et $3$ .

Contrôle. $f (3) = 9 - 9 + 2 = 2$ ✔, et l'on avait déjà trouvé $f (0) = 2$ à la question 1 ✔.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.