Un facteur au carré qui ne change pas le signe

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Signe d'une fonction et tableaux de signes

Énoncé

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} (x - 3) (2 - x)$ .

Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f (x) = 0$ .
Dresser le tableau de signes de $f$ sur $R$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $f (x) \geq 0$ .

Corrigé

1. Les racines. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x^{2} = 0 ⟺ x = 0, x - 3 = 0 ⟺ x = 3, 2 - x = 0 ⟺ x = 2.$ Donc $f (x) = 0$ pour $x \in {0; 2; 3}$ .

2. Le tableau. Le point délicat est le facteur $x^{2}$ : c'est un carré, donc il est positif ou nul, et il ne change jamais de signe. Il s'annule seulement en $0$ .

$x - 3$ est négatif avant $3$ , positif après.
$2 - x$ est positif avant $2$ , négatif après (coefficient $- 1 < 0$ ).

On range les valeurs charnières : $0 < 2 < 3$ .

$x x^{2} x - 3 2 - x f (x)] - \infty; 0 [+ - + -] 0; 2 [+ - + -] 2; 3 [+ - - +] 3; + \infty [+ + - -$

3. La conclusion. L'expression est strictement positive sur $] 2; 3 [$ , nulle en $2$ et en $3$ , et nulle aussi en $0$ — bien que le signe ne change pas en ce point. $S = {0} \cup [2; 3] .$

Contrôle. $f (1) = 1 \times (- 2) \times 1 = - 2 < 0$ ✔ ; $f (2, 5) = 6, 25 \times (- 0, 5) \times (- 0, 5) = 1, 5625 > 0$ ✔ ; $f (- 1) = 1 \times (- 4) \times 3 = - 12 < 0$ ✔ ; $f (0) = 0$ ✔.

Ce qu'il faut retenir. Une racine venant d'un facteur au carré annule la fonction sans faire changer son signe.

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