Une fonction définie partout, et un nombre sans antécédent

1. Le domaine. Le seul obstacle serait un dénominateur nul. Or pour tout réel $x$, on a $x^2\ge 0$, donc $$x^2+1\ge 1>0.$$ Le dénominateur ne s'annule jamais : $D_f=\mathbb{R}$.

2. Les images. $$f(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1,f(1)=\frac{0}{2}=0,f(-2)=\frac{-3}{4+1}=-\frac{3}{5}.$$

3. L'antécédent de $0$. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (le dénominateur, lui, ne s'annule jamais ici). Donc $$f(x)=0⟺x-1=0⟺x=1.$$ Il y a donc un unique antécédent, à savoir $1$, ce qui confirme le calcul de $f(1)$.

4. Le nombre $\frac{1}{2}$. On cherche les solutions de $$\frac{x-1}{x^2+1}=\frac{1}{2}.$$ Comme $x^2+1\ne 0$, on peut multiplier en croix : $$2(x-1)=x^2+1⟺2x-2=x^2+1⟺0=x^2-2x+3.$$ On reconnaît un début de carré : $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, donc $$x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2.$$ Or $(x-1{)}^2\ge 0$ pour tout réel $x$, donc $(x-1{)}^2+2\ge 2>0$ : cette expression ne s'annule jamais.

L'équation n'a aucune solution : $\frac{1}{2}$ n'a pas d'antécédent par $f$.

Lecture. Tout réel n'est donc pas atteint par $f$ : une fonction peut être définie partout sans prendre toutes les valeurs.