Inégalité classique par récurrence

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 2

Énoncé

Inégalité classique par récurrence. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$ :

$2^{n} \geq n + 1$

Corrigé

Soit $P (n)$ la propriété : $2^{n} \geq n + 1$ .

Initialisation : Pour $n = 1$ , $2^{1} = 2$ et $1 + 1 = 2$ . Comme $2 \geq 2$ , $P (1)$ est vraie.
Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain entier $k \geq 1$ , soit $2^{k} \geq k + 1$ . Montrons que $2^{k + 1} \geq k + 2$ . En multipliant l'hypothèse de récurrence par 2 (qui est positif) :

$2^{k + 1} = 2 \times 2^{k} \geq 2 (k + 1) = 2 k + 2$

Or, pour tout $k \geq 1$ , on a $k \geq 0 ⟹ 2 k + 2 = k + k + 2 \geq k + 2$ . On en déduit par transitivité : $2^{k + 1} \geq k + 2$ . L'hérédité est établie.

Conclusion : Par récurrence, pour tout entier $n \geq 1$ , $2^{n} \geq n + 1$ .