Majoration par récurrence

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (terminale), chapitre 1 — Raisonnement par Récurrence et Suites

Énoncé

Majoration par récurrence. Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} < 6$ .

Corrigé

Soit $P (n)$ la propriété : $u_{n} < 6$ .

Initialisation : Pour $n = 0$ , $u_{0} = 1$ . Comme $1 < 6$ , $P (0)$ est vraie.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $k \geq 0$ , c'est-à-dire $u_{k} < 6$ . Montrons que $u_{k + 1} < 6$ . En utilisant la définition de la suite :

$u_{k} < 6 ⟹ \frac{1}{2} u_{k} < 3 ⟹ \frac{1}{2} u_{k} + 3 < 3 + 3 ⟹ u_{k + 1} < 6$

La propriété est donc héritée au rang $k + 1$ .

Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \in N$ , $u_{n} < 6$ .

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