Majoration par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $u_n<6$.

• Initialisation : Pour $n=0$, $u_0=1$. Comme $1<6$, $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $k\ge 0$, c'est-à-dire $u_k<6$. Montrons que $u_{k+1}<6$. En utilisant la définition de la suite :

$$u_k<6⟹\frac{1}{2}{u}_k<3⟹\frac{1}{2}{u}_k+3<3+3⟹u_{k+1}<6$$

La propriété est donc héritée au rang $k+1$.

• Conclusion : Par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n<6$.