mathématiques (terminale) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Problème — Étude d'une suite arithmético-géométrique

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 2

Énoncé

Problème — Étude d'une suite arithmético-géométrique. On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$

Déterminer le réel $α$ tel que la fonction $f (x) = 3 x - 4$ vérifie $f (α) = α$ .
Soit la suite $(v_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $v_{n} = u_{n} - α$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

L'équation $f (α) = α ⟺ 3 α - 4 = α ⟺ 2 α = 4 ⟺ α = 2$ .
Exprimons $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ :

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 2 = (3 u_{n} - 4) - 2 = 3 u_{n} - 6 = 3 (u_{n} - 2) = 3 v_{n}$

Ainsi, la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 2 = 3 - 2 = 1$ .

Puisque $(v_{n})$ est géométrique, on a pour tout $n \in N$ : $v_{n} = v_{0} \times q^{n} = 1 \times 3^{n} = 3^{n}$ . On en déduit que pour tout $n \in N$ :

$u_{n} = v_{n} + 2 = 3^{n} + 2$

On vérifie sur les premiers termes : $u_{0} = 3$ , $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 11$ , $u_{3} = 29$ .

Comme $3 > 1$ , on a $lim_{n \to + \infty} 3^{n} = + \infty$ , donc par somme de limites :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$

La suite $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .

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