Problème — Modélisation — dose de médicament dans le sang

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 1 — Raisonnement par Récurrence et Suites

Énoncé

Problème — Modélisation — dose de médicament dans le sang. Un patient prend chaque matin une dose de $0, 5$ mg d'un médicament. Au cours des 24 heures suivantes, son organisme élimine $30 %$ de la quantité présente dans le sang. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) de médicament dans le sang juste après la prise du $(n + 1)$ -ième jour : $u_{0} = 0, 5$ est donc la quantité présente juste après la première prise.

Justifier que pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 0, 5$ .
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $u_{n} \leq \frac{5}{3}$ .
Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante. Que peut-on en déduire ?
Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n} = u_{n} - \frac{5}{3}$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ et interpréter le résultat dans le contexte.
À l'aide d'un algorithme de seuil (ou de la calculatrice), déterminer le premier jour où la quantité dépasse $1, 6$ mg.

Corrigé

Du jour $n$ au jour $n + 1$ : il reste $70 %$ de la quantité $u_{n}$ , soit $0, 7 u_{n}$ , à laquelle s'ajoute la nouvelle dose de $0, 5$ mg. Donc $u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 0, 5$ .

Soit $P (n)$ la propriété : $u_{n} \leq \frac{5}{3}$ .

Initialisation : $u_{0} = 0, 5 \leq \frac{5}{3}$ . $P (0)$ est vraie.
Hérédité : supposons $u_{k} \leq \frac{5}{3}$ pour un entier $k \geq 0$ . Alors :

$u_{k + 1} = 0, 7 u_{k} + 0, 5 \leq 0, 7 \times \frac{5}{3} + 0, 5 = \frac{7}{6} + \frac{1}{2} = \frac{7 + 3}{6} = \frac{5}{3}$

Donc $P (k + 1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq \frac{5}{3}$ .

Étudions le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ :

$u_{n + 1} - u_{n} = 0, 7 u_{n} + 0, 5 - u_{n} = 0, 5 - 0, 3 u_{n} = 0, 3 (\frac{5}{3} - u_{n}) \geq 0$

car $u_{n} \leq \frac{5}{3}$ d'après la question 2. La suite $(u_{n})$ est donc croissante. Croissante et majorée par $\frac{5}{3}$ , elle converge d'après le théorème de convergence monotone.

Calculons $v_{n + 1}$ :

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - \frac{5}{3} = 0, 7 u_{n} + 0, 5 - \frac{5}{3} = 0, 7 u_{n} - \frac{7}{6} = 0, 7 (u_{n} - \frac{5}{3}) = 0, 7 v_{n}$

$(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 7$ et de premier terme $v_{0} = 0, 5 - \frac{5}{3} = - \frac{7}{6}$ . Ainsi :

$v_{n} = - \frac{7}{6} \times 0, 7^{n} puis u_{n} = \frac{5}{3} - \frac{7}{6} \times 0, 7^{n}$

Comme $- 1 < 0, 7 < 1$ , $lim 0, 7^{n} = 0$ , donc :

$n \to + \infty lim u_{n} = \frac{5}{3} \approx 1, 67 mg$

Avec ce traitement quotidien, la quantité de médicament dans le sang se stabilise vers $\frac{5}{3}$ mg : c'est le plateau d'équilibre entre l'apport quotidien et l'élimination.

On cherche le plus petit $n$ tel que $u_{n} > 1, 6$ , soit $\frac{7}{6} \times 0, 7^{n} < \frac{5}{3} - 1, 6 = \frac{1}{15}$ . Un algorithme de seuil (ou le calcul des termes successifs) donne $u_{8} \approx 1, 599$ et $u_{9} \approx 1, 620$ : le plus petit rang convenable est donc $n = 9$ . Comme $u_{0}$ correspond au 1<sup>er</sup> jour, le rang $n$ correspond au $(n + 1)$ -ième jour : c'est au 10<sup>e</sup> jour que la quantité dépasse $1, 6$ mg.

Le graphique de la concentration réelle, heure par heure, montre ce que la suite $(u_{n})$ ne dit qu'à demi-mot : chaque prise fait remonter la courbe, chaque journée la fait redescendre, et les deux effets finissent par se compenser. C'est le plateau thérapeutique recherché par le médecin.

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