Problème — Suite d'équations implicites

• La fonction $f_n$ est polynomiale donc continue et dérivable sur $[0,1]$. Sa dérivée est $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+1$. Pour tout $x\in [0,1]$, $x^{n-1}\ge 0$, donc $f_n^{\prime }(x)\ge 1>0$. La fonction $f_n$ est strictement croissante sur $[0,1]$. De plus, $f_n(0)=-1<0$ et $f_n(1)=1^n+1-1=1>0$. Puisque $f_n$ est continue, strictement croissante, et change de signe sur $[0,1]$, d'après le corollaire du TVI, l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.

• Pour $n=1$ : $f_1(x)=x+x-1=2x-1=0⟺x_1=\frac{1}{2}$. Pour $n=2$ : $f_2(x)=x^2+x-1=0$. Le discriminant de l'équation est $\Delta =1-4(1)(-1)=5$. L'unique solution dans $[0,1]$ est la racine positive : $x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618$.

• Calculons la différence :

$$f_{n+1}(x)-f_n(x)=(x^{n+1}+x-1)-(x^n+x-1)=x^{n+1}-x^n=x^n(x-1)$$

Pour tout $x\in [0,1]$, $x^n\ge 0$ et $x-1\le 0$, donc :

$$f_{n+1}(x)-f_n(x)\le 0⟹f_{n+1}(x)\le f_n(x)$$

• En appliquant le résultat précédent au point $x=x_{n+1}$ :

$$f_n(x_{n+1})\ge f_{n+1}(x_{n+1})$$

Or, par définition de $x_{n+1}$, on a $f_{n+1}(x_{n+1})=0$. Ainsi :

$$f_n(x_{n+1})\ge 0=f_n(x_n)$$

Comme la fonction $f_n$ est strictement croissante sur $[0,1]$, on en déduit :

$$x_{n+1}\ge x_n$$

La suite $(x_n)$ est donc croissante.

• La suite $(x_n)$ est croissante et elle est majorée par 1 (car pour tout $n$, $x_n\in [0,1]$). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(x_n)$ est convergente.