Problème — Suite d'équations implicites

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Suite d'équations implicites. Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on considère l'équation :

$(E_{n}) : x^{n} + x - 1 = 0$

d'inconnue $x$ dans l'intervalle $[0, 1]$ .

Soit $f_{n}$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f_{n} (x) = x^{n} + x - 1$ . Montrer que l'équation $(E_{n})$ possède une unique solution dans $[0, 1]$ , notée $x_{n}$ .
Calculer $x_{1}$ et $x_{2}$ .
Comparer $f_{n + 1} (x)$ et $f_{n} (x)$ pour tout $x \in [0, 1]$ .
En déduire que pour tout $n \geq 1$ , $f_{n} (x_{n + 1}) \geq 0$ , puis que la suite $(x_{n})$ est croissante.
Prouver la convergence de la suite $(x_{n})$ .

La fonction $f_{n}$ est polynomiale donc continue et dérivable sur $[0, 1]$ . Sa dérivée est $f_{n}^{'} (x) = n x^{n - 1} + 1$ . Pour tout $x \in [0, 1]$ , $x^{n - 1} \geq 0$ , donc $f_{n}^{'} (x) \geq 1 > 0$ . La fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0, 1]$ . De plus, $f_{n} (0) = - 1 < 0$ et $f_{n} (1) = 1^{n} + 1 - 1 = 1 > 0$ . Puisque $f_{n}$ est continue, strictement croissante, et change de signe sur $[0, 1]$ , d'après le corollaire du TVI, l'équation $f_{n} (x) = 0$ admet une unique solution $x_{n}$ dans $[0, 1]$ .

Pour $n = 1$ : $f_{1} (x) = x + x - 1 = 2 x - 1 = 0 ⟺ x_{1} = \frac{1}{2}$ . Pour $n = 2$ : $f_{2} (x) = x^{2} + x - 1 = 0$ . Le discriminant de l'équation est $Δ = 1 - 4 (1) (- 1) = 5$ . L'unique solution dans $[0, 1]$ est la racine positive : $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} \approx 0, 618$ .

$f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) = (x^{n + 1} + x - 1) - (x^{n} + x - 1) = x^{n + 1} - x^{n} = x^{n} (x - 1)$

Pour tout $x \in [0, 1]$ , $x^{n} \geq 0$ et $x - 1 \leq 0$ , donc :

$f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) \leq 0 ⟹ f_{n + 1} (x) \leq f_{n} (x)$

$f_{n} (x_{n + 1}) \geq f_{n + 1} (x_{n + 1})$

Or, par définition de $x_{n + 1}$ , on a $f_{n + 1} (x_{n + 1}) = 0$ . Ainsi :

$f_{n} (x_{n + 1}) \geq 0 = f_{n} (x_{n})$

Comme la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0, 1]$ , on en déduit :

$x_{n + 1} \geq x_{n}$

La suite $(x_{n})$ est donc croissante.

La suite $(x_{n})$ est croissante et elle est majorée par 1 (car pour tout $n$ , $x_{n} \in [0, 1]$ ). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(x_{n})$ est convergente.