Problème — Suite homographique

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 1 — Raisonnement par Récurrence et Suites

Énoncé

Problème — Suite homographique. Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} - 2}{u _{n} + 1}$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} > 2$ .
On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = \frac{u _{n} - 2}{u _{n} - 1}$ pour tout $n \in N$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$ .
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

Démontrons par récurrence que $u_{n} > 2$ .

Initialisation : Pour $n = 0$ , $u_{0} = 3 > 2$ . Vrai.
Hérédité : Supposons $u_{k} > 2$ pour un certain $k \geq 0$ . Montrons $u_{k + 1} > 2$ . Calculons la différence $u_{k + 1} - 2$ :

$u_{k + 1} - 2 = \frac{4 u _{k} - 2}{u _{k} + 1} - 2 = \frac{4 u _{k} - 2 - 2 ( u _{k} + 1 )}{u _{k} + 1} = \frac{2 u _{k} - 4}{u _{k} + 1} = \frac{2 ( u _{k} - 2 )}{u _{k} + 1}$

Par hypothèse de récurrence, $u_{k} > 2 ⟹ u_{k} - 2 > 0$ et $u_{k} + 1 > 3 > 0$ . Le quotient est donc strictement positif, ce qui prouve que $u_{k + 1} - 2 > 0 ⟹ u_{k + 1} > 2$ . Hérédité validée.

Conclusion : Pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 2$ .

Exprimons $v_{n + 1}$ :

$v_{n + 1} = \frac{u _{n + 1} - 2}{u _{n + 1} - 1} = \frac{\frac{4 u _{n} - 2}{u _{n} + 1} - 2}{\frac{4 u _{n} - 2}{u _{n} + 1} - 1} = \frac{\frac{2 ( u _{n} - 2 )}{u _{n} + 1}}{\frac{4 u _{n} - 2 - ( u _{n} + 1 )}{u _{n} + 1}} = \frac{2 ( u _{n} - 2 )}{3 u _{n} - 3} = \frac{2 ( u _{n} - 2 )}{3 ( u _{n} - 1 )} = \frac{2}{3} v_{n}$

La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = \frac{2}{3}$ et de premier terme $v_{0} = \frac{u _{0} - 2}{u _{0} - 1} = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$ .

On a $v_{n} = v_{0} \times q^{n} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}$ . Pour exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$ :

$v_{n} = \frac{u _{n} - 2}{u _{n} - 1} ⟺ v_{n} (u_{n} - 1) = u_{n} - 2 ⟺ u_{n} v_{n} - v_{n} = u_{n} - 2 ⟺ u_{n} (v_{n} - 1) = v_{n} - 2 ⟺ u_{n} = \frac{2 - v _{n}}{1 - v _{n}}$

En remplaçant $v_{n}$ :

$u_{n} = \frac{2 - \frac{1}{2} ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2} ( \frac{2}{3} ) ^{n}}$

Comme $- 1 < \frac{2}{3} < 1$ , $lim_{n \to + \infty} (\frac{2}{3})^{n} = 0$ . Donc $lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ . Par limite de quotient :

$n \to + \infty lim u_{n} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.