Problème — Suites adjacentes et approximation du nombre e — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 1)

Problème — Suites adjacentes et approximation du nombre

e

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Suites adjacentes et approximation du nombre $e$ . On considère les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies pour tout $n \geq 1$ par :

$u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n !} et v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$

Montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
Montrer que la suite $(v_{n})$ est strictement décroissante.
Montrer que $lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = 0$ .
En déduire que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes et qu'elles convergent vers une limite commune. Note : cette limite est le nombre $e \approx 2, 718$ .

Corrigé

Calculons la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ :

$u_{n + 1} - u_{n} = k = 0 \sum n + 1 \frac{1}{k !} - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} = \frac{1}{( n + 1 )!} > 0$

La suite $(u_{n})$ est donc strictement croissante.

Calculons $v_{n + 1} - v_{n}$ :

$v_{n + 1} - v_{n} = u_{n + 1} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 1 )!} - (u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}) = \frac{1}{( n + 1 )!} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 1 )!} - \frac{1}{n \cdot n !}$

Mettons au dénominateur commun $n (n + 1) (n + 1)!$ sachant que $(n + 1)! = (n + 1) n!$ :

$v_{n + 1} - v_{n} = \frac{n ( n + 1 ) + n - ( n + 1 ) ^{2}}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} = \frac{n ^{2} + n + n - ( n ^{2} + 2 n + 1 )}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} = \frac{- 1}{n ( n + 1 ) ( n + 1 )!} < 0$

La suite $(v_{n})$ est donc strictement décroissante.

Calculons la différence $v_{n} - u_{n}$ :

$v_{n} - u_{n} = \frac{1}{n \cdot n !}$

Pour $n \geq 1$ , $n! \geq 1 ⟹ 0 < \frac{1}{n \cdot n !} \leq \frac{1}{n}$ . Comme $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ , on obtient d'après le théorème des Gendarmes :

$n \to + \infty lim (v_{n} - u_{n}) = 0$

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ vérifient :

$(u_{n})$ est croissante,
$(v_{n})$ est décroissante,
$lim (v_{n} - u_{n}) = 0$ .

Par définition, les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. Le théorème sur les suites adjacentes garantit qu'elles convergent vers une même limite réelle $L$ .