Problème — Suites adjacentes et approximation du nombre $e$

• Calculons la différence $u_{n+1}-u_n$ :

$$u_{n+1}-u_n=\sum _{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}-\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}>0$$

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

• Calculons $v_{n+1}-v_n$ :

$$v_{n+1}-v_n=u_{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\left(u_n+\frac{1}{n\cdot n!}\right)=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}$$

Mettons au dénominateur commun $n(n+1)(n+1)!$ sachant que $(n+1)!=(n+1)n!$ :

$$v_{n+1}-v_n=\frac{n(n+1)+n-(n+1{)}^2}{n(n+1)(n+1)!}=\frac{n^2+n+n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)(n+1)!}=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!}<0$$

La suite $(v_n)$ est donc strictement décroissante.

• Calculons la différence $v_n-u_n$ :

$$v_n-u_n=\frac{1}{n\cdot n!}$$

Pour $n\ge 1$, $n!\ge 1⟹0<\frac{1}{n\cdot n!}\le \frac{1}{n}$. Comme ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}=0$, on obtient d'après le théorème des Gendarmes :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(v_n-u_n)=0$$

• Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifient :

• $(u_n)$ est croissante,
• $(v_n)$ est décroissante,
• $\lim (v_n-u_n)=0$.

Par définition, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Le théorème sur les suites adjacentes garantit qu'elles convergent vers une même limite réelle $L$.