Somme des termes d'une suite géométrique

Soit $P(n)$ la propriété : ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Initialisation : Pour $n=0$, le membre de gauche vaut $q^0=1$. Le membre de droite vaut $\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q}{1-q}=1$. La propriété $P(0)$ est donc vraie.
• Hérédité : Supposons la propriété $P(m)$ vraie pour un certain entier $m\ge 0$, c'est-à-dire ${\sum }_{k=0}^m{q}^k=\frac{1-q^{m+1}}{1-q}$. Montrons que $P(m+1)$ est vraie, soit ${\sum }_{k=0}^{m+1}{q}^k=\frac{1-q^{m+2}}{1-q}$. En utilisant l'hypothèse de récurrence :

$$\sum _{k=0}^{m+1}{q}^k=\left(\sum _{k=0}^m{q}^k\right)+q^{m+1}=\frac{1-q^{m+1}}{1-q}+q^{m+1}=\frac{1-q^{m+1}+q^{m+1}(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^{m+2}}{1-q}$$

La propriété est donc héréditaire.

• Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc pour tout $n\ge 0$, ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.