Somme des termes d'une suite géométrique

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 2

Énoncé

Somme des termes d'une suite géométrique. Démontrer par récurrence que pour tout réel $q \neq = 1$ et pour tout entier naturel $n \geq 0$ :

$k = 0 \sum n q^{k} = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$

Corrigé

Soit $P (n)$ la propriété : $\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Initialisation : Pour $n = 0$ , le membre de gauche vaut $q^{0} = 1$ . Le membre de droite vaut $\frac{1 - q ^{0 + 1}}{1 - q} = \frac{1 - q}{1 - q} = 1$ . La propriété $P (0)$ est donc vraie.
Hérédité : Supposons la propriété $P (m)$ vraie pour un certain entier $m \geq 0$ , c'est-à-dire $\sum_{k = 0}^{m} q^{k} = \frac{1 - q ^{m + 1}}{1 - q}$ . Montrons que $P (m + 1)$ est vraie, soit $\sum_{k = 0}^{m + 1} q^{k} = \frac{1 - q ^{m + 2}}{1 - q}$ . En utilisant l'hypothèse de récurrence :

$k = 0 \sum m + 1 q^{k} = (k = 0 \sum m q^{k}) + q^{m + 1} = \frac{1 - q ^{m + 1}}{1 - q} + q^{m + 1} = \frac{1 - q ^{m + 1} + q ^{m + 1} ( 1 - q )}{1 - q} = \frac{1 - q ^{m + 2}}{1 - q}$

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc pour tout $n \geq 0$ , $\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .