Problème — Étude complète d'une fonction trigonométrique

• La fonction $f$ n'est pas périodique : le terme $-\frac{x}{2}$ brise la périodicité de $\sin$ (en revanche $f$ est impaire, comme somme de fonctions impaires, ce qui permet de limiter l'étude à $[0,\pi ]$ puis de symétriser).
• La fonction $f$ est dérivable et $f^{\prime }(x)=\cos (x)-\frac{1}{2}$ :

$$f^{\prime }(x)=0⟺\cos (x)=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}\text{sur }[-\pi ,\pi ]$$

De plus $f^{\prime }(x)>0⟺\cos (x)>\frac{1}{2}⟺x\in \left]-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right[$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]$, croissante sur $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$, décroissante sur $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$. Valeurs clés :

$$\begin{array}{c}f(-\pi )=\frac{\pi }{2}>0,f\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\approx -0,34<0,\\ f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}\approx 0,34>0,f(\pi )=-\frac{\pi }{2}<0\end{array}$$

• On a $f(0)=0$ : $x=0$ est solution. Sur chacun des trois intervalles de monotonie, $f$ est continue et strictement monotone avec un changement de signe aux bornes :

• sur $\left[-\pi ,-\frac{\pi }{3}\right]$ : de $\frac{\pi }{2}>0$ à $-0,34<0$ — une unique solution $x_1$ (et $x_1\ne 0$) ;
• sur $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$ : de $-0,34<0$ à $0,34>0$ — une unique solution, qui est $x=0$ ;
• sur $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right]$ : de $0,34>0$ à $-\frac{\pi }{2}<0$ — une unique solution $x_2$.

Par le corollaire du TVI appliqué trois fois, l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions sur $[-\pi ,\pi ]$ : $x_1$, $0$ et $x_2$ (par imparité, $x_2=-x_1$).