Problème — Modélisation — hauteur de la marée

Fonctions Trigonométriques · niveau 2

Énoncé

Problème — Modélisation — hauteur de la marée. Dans un port, la hauteur d'eau (en mètres) est modélisée sur une journée par :

$h (t) = 5 + 3 sin (\frac{π t}{6}) t \in [0, 24] (en heures)$

Déterminer la période du phénomène et interpréter.
Déterminer les heures de marée haute et de marée basse, et les hauteurs correspondantes.
Un navire a besoin d'une hauteur d'eau d'au moins $6, 5$ m pour entrer au port. Déterminer les créneaux d'accès sur $[0, 12]$ .

Corrigé

La fonction $t \mapsto sin (\frac{π t}{6})$ est périodique de période $T = \frac{2 π}{π /6} = 12$ heures : le cycle des marées se répète deux fois par jour, conformément au phénomène semi-diurne.
La hauteur est maximale quand $sin (\frac{π t}{6}) = 1$ , soit $\frac{π t}{6} = \frac{π}{2} + 2 k π$ , d'où $t = 3$ puis $t = 15$ : marée haute à 3 h et 15 h, hauteur $h = 5 + 3 = 8$ m. Elle est minimale quand $sin (\frac{π t}{6}) = - 1$ , soit $t = 9$ puis $t = 21$ : marée basse à 9 h et 21 h, hauteur $h = 5 - 3 = 2$ m.
On résout $h (t) \geq 6, 5$ :

$5 + 3 sin (\frac{π t}{6}) \geq 6, 5 ⟺ sin (\frac{π t}{6}) \geq \frac{1}{2}$

Posons $u = \frac{π t}{6}$ ; pour $t \in [0, 12]$ , $u$ parcourt $[0, 2 π]$ . Or $sin (u) \geq \frac{1}{2}$ sur $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ (lecture sur le cercle). En revenant à $t$ :

$\frac{π}{6} \leq \frac{π t}{6} \leq \frac{5 π}{6} ⟺ 1 \leq t \leq 5$

Le navire peut entrer au port entre 1 h et 5 h (le créneau se reproduit 12 heures plus tard, entre 13 h et 17 h).

Tracée, la fonction $h$ montre à quoi sert chacun de ses trois coefficients — et rend la question 3 purement visuelle.