Problème — Optimisation d'une aire (rectangle inscrit)

Fonctions Trigonométriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Optimisation d'une aire (rectangle inscrit). Un rectangle a deux sommets sur l'axe des abscisses et deux sommets sur la courbe de la fonction $cos$ au-dessus de l'axe, aux points d'abscisses $- x$ et $x$ avec $x \in] 0, \frac{π}{2} [$ .

Exprimer l'aire $A (x)$ du rectangle en fonction de $x$ .
Calculer $A^{'} (x)$ et montrer que $A^{'} (x) = 0$ équivaut à $tan (x) = \frac{1}{x}$ ... ou plus simplement, montrer que l'équation $cos (x) - x sin (x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ sur $] 0, \frac{π}{2} [$ .
En déduire l'existence d'une aire maximale.

Corrigé

Le rectangle a pour largeur $2 x$ (de $- x$ à $x$ ) et pour hauteur $cos (x)$ :

$A (x) = 2 x cos (x)$

La fonction $A$ est dérivable et :

$A^{'} (x) = 2 cos (x) + 2 x \times (- sin (x)) = 2 (cos (x) - x sin (x))$

Posons $g (x) = cos (x) - x sin (x)$ sur $[0, \frac{π}{2}]$ . La fonction $g$ est dérivable et :

$g^{'} (x) = - sin (x) - (sin (x) + x cos (x)) = - 2 sin (x) - x cos (x)$

Sur $] 0, \frac{π}{2} [$ , $sin (x) > 0$ et $x cos (x) > 0$ , donc $g^{'} (x) < 0$ : $g$ est strictement décroissante. De plus $g (0) = 1 > 0$ et $g (\frac{π}{2}) = 0 - \frac{π}{2} \times 1 = - \frac{π}{2} < 0$ . Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$ dans $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Le signe de $A^{'} (x) = 2 g (x)$ suit celui de $g$ : positif sur $] 0, x_{0} [$ , négatif sur $] x_{0}, \frac{π}{2} [$ . L'aire $A$ est donc croissante puis décroissante : elle atteint son maximum en $x = x_{0}$ (numériquement $x_{0} \approx 0, 86$ et $A (x_{0}) \approx 1, 12$ ).