Composition et bijection

• On pose $u(x)=2x^2-3x$ et $v(t)=e^t$ ; alors $f=v\circ u$. Comme $u^{\prime }(x)=4x-3$ et $v^{\prime }(t)=e^t$, la formule $(v\circ u{)}^{\prime }=(v^{\prime }\circ u)\times u^{\prime }$ donne

$$f^{\prime }(x)=e^{u(x)}\times u^{\prime }(x)=(4x-3)e^{2x^2-3x},$$

ce qui est bien la formule $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ du chapitre 3.

• Puisque $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre :

• $\ln \left(e^{3x+1}\right)=3x+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, car $\ln (e^y)=y$ est valable pour tout réel $y$ ;
• $e^{\ln (x^2+1)}=x^2+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, car $e^{\ln X}=X$ est valable pour tout $X>0$ et ici $X=x^2+1\ge 1>0$.

• De $\mathbb{R}$ sur $[0;+\infty [$ : non. Le réel $4$ possède deux antécédents, $2$ et $-2$ : l'unicité de l'antécédent est en défaut. De $[0;+\infty [$ sur $[0;+\infty [$ : oui. La fonction est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty [$, avec $x^2\to +\infty$ quand $x\to +\infty$ ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 2), tout $k\ge 0$ possède un antécédent et un seul, à savoir $\sqrt{k}$. La restriction de l'ensemble de départ a suffi à rétablir la bijection.