Composition et bijection — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 11)

Composition et bijection

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Composition et bijection.

Écrire la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{2 x^{2} - 3 x}$ comme une composée $v \circ u$ , et retrouver sa dérivée.
Simplifier $ln (e^{3 x + 1})$ et $e^{l n (x^{2} + 1)}$ , en précisant sur quel ensemble.
La fonction $x \mapsto x^{2}$ réalise-t-elle une bijection de $R$ sur $[0; + \infty [$ ? Et de $[0; + \infty [$ sur $[0; + \infty [$ ?

On pose $u (x) = 2 x^{2} - 3 x$ et $v (t) = e^{t}$ ; alors $f = v \circ u$ . Comme $u^{'} (x) = 4 x - 3$ et $v^{'} (t) = e^{t}$ , la formule $(v \circ u)^{'} = (v^{'} \circ u) \times u^{'}$ donne

$f^{'} (x) = e^{u (x)} \times u^{'} (x) = (4 x - 3) e^{2 x^{2} - 3 x},$

ce qui est bien la formule $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ du chapitre 3.

$ln (e^{3 x + 1}) = 3 x + 1$ pour tout $x \in R$ , car $ln (e^{y}) = y$ est valable pour tout réel $y$ ;
$e^{l n (x^{2} + 1)} = x^{2} + 1$ pour tout $x \in R$ , car $e^{l n X} = X$ est valable pour tout $X > 0$ et ici $X = x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ .

De $R$ sur $[0; + \infty [$ : non. Le réel $4$ possède deux antécédents, $2$ et $- 2$ : l'unicité de l'antécédent est en défaut. De $[0; + \infty [$ sur $[0; + \infty [$ : oui. La fonction est continue et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , avec $x^{2} \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 2), tout $k \geq 0$ possède un antécédent et un seul, à savoir $k$ . La restriction de l'ensemble de départ a suffi à rétablir la bijection.