Condition nécessaire, condition suffisante

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Condition nécessaire, condition suffisante. Dans chaque cas, dire si la condition proposée est nécessaire, suffisante, les deux, ou aucune des deux.

Pour qu'une suite croissante converge : « être majorée ».
Pour qu'un point $A (a; f (a))$ soit un point d'inflexion de $C_{f}$ ( $f$ deux fois dérivable) : « $f^{''} (a) = 0$ ».
Pour que deux événements $A$ et $B$ soient indépendants : « $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ».
Pour que l'équation $f (x) = k$ ait une unique solution sur $[a; b]$ : « $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , et $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ ».

Corrigé

Nécessaire et suffisante. Le chapitre 1 donne les deux sens : toute suite croissante et majorée converge (sens suffisant), et toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ , donc ne converge pas (ce qui donne, par contraposée, le sens nécessaire).
Nécessaire mais non suffisante. Si $A$ est un point d'inflexion, $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ , donc en particulier $f^{''} (a) = 0$ . La réciproque est fausse : $f (x) = x^{4}$ en $0$ (exercice 2).
Nécessaire et suffisante : c'est la définition même de l'indépendance au chapitre 9, énoncée avec un « si et seulement si ».
Suffisante mais non nécessaire. C'est le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 2 : ces hypothèses garantissent l'unicité. Mais elles ne sont pas nécessaires — une fonction non monotone peut parfaitement ne couper la droite $y = k$ qu'une seule fois. Prenons $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[0; 3]$ : elle décroît sur $[0; 1]$ (de $0$ à $- 2$ ) puis croît sur $[1; 3]$ (de $- 2$ à $18$ ), donc elle n'est pas monotone ; pourtant l'équation $f (x) = 10$ y admet une solution et une seule, voisine de $2, 61$ , car la valeur $10$ n'est jamais atteinte sur la première branche et l'est exactement une fois sur la seconde. Attention toutefois : sur un segment, on ne peut pas obtenir cette unicité en descendant $k$ n'importe où sous le creux de la courbe — un niveau situé au-dessous de toutes les valeurs de $f$ sur $[a; b]$ ne donne aucune solution du tout.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.