Condition nécessaire, condition suffisante

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Condition nécessaire, condition suffisante. Dans chaque cas, dire si la condition proposée est nécessaire, suffisante, les deux, ou aucune des deux.

Pour qu'une suite croissante converge : « être majorée ».
Pour qu'un point $A (a; f (a))$ soit un point d'inflexion de $C_{f}$ ( $f$ deux fois dérivable) : « $f^{''} (a) = 0$ ».
Pour que deux événements $A$ et $B$ soient indépendants : « $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ».
Pour que l'équation $f (x) = k$ ait une unique solution sur $[a; b]$ : « $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , et $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ ».

Corrigé

Nécessaire et suffisante. Le chapitre 1 donne les deux sens : toute suite croissante et majorée converge (sens suffisant), et toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ , donc ne converge pas (ce qui donne, par contraposée, le sens nécessaire).
Nécessaire mais non suffisante. Si $A$ est un point d'inflexion, $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ , donc en particulier $f^{''} (a) = 0$ . La réciproque est fausse : $f (x) = x^{4}$ en $0$ (exercice 2).
Nécessaire et suffisante : c'est la définition même de l'indépendance au chapitre 9, énoncée avec un « si et seulement si ».
Suffisante mais non nécessaire. C'est le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 2 : ces hypothèses garantissent l'unicité. Mais elles ne sont pas nécessaires — une fonction non monotone peut parfaitement ne couper la droite $y = k$ qu'une seule fois. Prenons $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[0; 3]$ : elle décroît sur $[0; 1]$ (de $0$ à $- 2$ ) puis croît sur $[1; 3]$ (de $- 2$ à $18$ ), donc elle n'est pas monotone ; pourtant l'équation $f (x) = 10$ y admet une solution et une seule, voisine de $2, 61$ , car la valeur $10$ n'est jamais atteinte sur la première branche et l'est exactement une fois sur la seconde. Attention toutefois : sur un segment, on ne peut pas obtenir cette unicité en descendant $k$ n'importe où sous le creux de la courbe — un niveau situé au-dessous de toutes les valeurs de $f$ sur $[a; b]$ ne donne aucune solution du tout.