Implication, réciproque, contraposée

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Implication, réciproque, contraposée. On considère l'implication du chapitre 2 : « si $f$ est dérivable sur $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ ».

Énoncer sa réciproque. Est-elle vraie ?
Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?
Même travail avec l'implication : « si $q > 1$ , alors $lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ » (chapitre 1).

Corrigé

Réciproque : « si $f$ est continue sur $I$ , alors $f$ est dérivable sur $I$ ». Elle est fausse, le chapitre 2 le dit explicitement et en donne le contre-exemple $x \mapsto ∣ x ∣$ en $0$ .
Contraposée : « si $f$ n'est pas continue sur $I$ , alors $f$ n'est pas dérivable sur $I$ ». Elle est vraie, puisqu'une implication et sa contraposée sont toujours équivalentes. Il n'y a rien à démontrer de plus.
Pour la seconde implication :

Réciproque : « si $lim q^{n} = + \infty$ , alors $q > 1$ ». Elle est ici vraie : la proposition du chapitre 1 montre que dans tous les autres cas ( $q = 1$ , $- 1 < q < 1$ , $q \leq - 1$ ), la suite ne tend pas vers $+ \infty$ . Les deux propositions sont donc en fait équivalentes. Cela illustre qu'une réciproque n'est ni automatiquement fausse ni automatiquement vraie : il faut l'examiner.
Contraposée : « si $(q^{n})$ ne tend pas vers $+ \infty$ , alors $q \leq 1$ ». Vraie, comme toute contraposée d'une implication vraie.

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