Nier des propositions quantifiées

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Nier des propositions quantifiées. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, en français et sans employer le mot « faux ».

$(P_{1})$ : « pour tout $x \in R$ , $e^{x} > 0$ ».
$(P_{2})$ : « il existe $x \in R$ tel que $ln (x) = 2$ ».
$(P_{3})$ : « il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq M$ ».
$(P_{4})$ : « pour tout $ε > 0$ , il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $∣ u_{n} - L ∣ < ε$ ».

On applique la méthode : on échange chaque quantificateur sans changer leur ordre, et on nie la conclusion.

Négation de $(P_{1})$ : « il existe $x \in R$ tel que $e^{x} \leq 0$ ». (La proposition $(P_{1})$ est vraie, donc sa négation est fausse : c'est bien le résultat du chapitre 5.)
Négation de $(P_{2})$ : « pour tout $x \in R$ , $ln (x) \neq = 2$ ». (Ici $(P_{2})$ est vraie, avec $x = e^{2}$ .)
Négation de $(P_{3})$ : « pour tout réel $M$ , il existe $n \in N$ tel que $u_{n} > M$ ». C'est la définition d'une suite non majorée, utilisée telle quelle dans la démonstration du chapitre 1.
Négation de $(P_{4})$ : « il existe $ε > 0$ tel que pour tout rang $N$ , il existe $n \geq N$ vérifiant $∣ u_{n} - L ∣ \geq ε$ ». Les trois quantificateurs sont échangés dans l'ordre, et l'inégalité stricte devient large dans l'autre sens.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.