Problème — Propriété caractéristique, équivalence et conditions

• La démonstration du chapitre 8 enchaîne :

$$M\in \mathcal{P}⟺\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0⟺a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0⟺ax+by+cz+d=0.$$

• La première équivalence est la définition même du vecteur normal, combinée à la caractérisation de l'orthogonalité par le produit scalaire nul (chapitre 8) : les deux énoncés sont deux façons de dire la même chose.
• La deuxième est le passage à l'expression analytique du produit scalaire en repère orthonormé : c'est un calcul d'écriture, sans perte d'information.
• La troisième est un développement suivi du regroupement des constantes en $d$ : opération réversible, puisque $d$ est entièrement déterminé par $A$ et $\overrightarrow{n}$.

Chaque étape étant une reformulation exacte, la chaîne se lit dans les deux sens. C'est ce qui permet de conclure par une équivalence et non par une simple implication.

• Dire que l'équation est une propriété caractéristique du plan, c'est dire que les points qui la vérifient sont exactement ceux du plan : ni plus, ni moins. Elle est donc à la fois une condition nécessaire (tout point du plan la vérifie) et suffisante (tout point qui la vérifie est dans le plan) — le chapitre 8 énonce d'ailleurs explicitement les deux sens, le second sous la forme d'un « réciproquement ».

Le gain est considérable : appartenir à un plan devient une égalité numérique à vérifier. C'est ce qui permet, dans tous les problèmes du chapitre 8, de remplacer un raisonnement géométrique par un calcul.

• Vérifions d'abord si $B\in \mathcal{P}$ : $2\times 1-0+1-3=0$, donc oui. Un point de $D$ s'écrit $M(1+t;t;1-t)$ pour $t\in \mathbb{R}$ ; alors

$$2(1+t)-t+(1-t)-3=2+2t-t+1-t-3=0,$$

et ce, pour toute valeur de $t$ : la droite $D$ est donc incluse dans le plan $\mathcal{P}$.

Par conséquent :

• La proposition proposée (« $M\in \mathcal{P}⟹M\in D$ ») est fausse. Contre-exemple : le point $C(0;0;3)$ vérifie $2\times 0-0+3-3=0$, donc $C\in \mathcal{P}$ ; mais s'il était sur $D$, il faudrait $1+t=0$ et $t=0$ simultanément, ce qui est impossible. Donc $C\notin D$.
• Sa réciproque (« $M\in D⟹M\in \mathcal{P}$ ») est vraie, c'est précisément le calcul ci-dessus.

L'exemple est éclairant : l'implication et sa réciproque ont ici des valeurs de vérité opposées. C'est exactement l'erreur que l'on commet en confondant $D\subset \mathcal{P}$ avec $\mathcal{P}\subset D$.

• Les hypothèses sont suffisantes : elles garantissent l'existence et l'unicité de la solution, c'est le contenu même du corollaire.

Elles ne sont pas nécessaires. Sur $[0;3]$, la fonction $f(x)=x^3-3x$ n'est pas monotone : elle décroît sur $[0;1]$ (de $0$ à $-2$), puis croît sur $[1;3]$ (de $-2$ à $18$). Pourtant l'équation $f(x)=10$ y admet une solution et une seule (voisine de $2,61$) : le niveau $k=10$ n'est atteint sur aucun point de la branche décroissante et l'est exactement une fois sur la branche croissante. L'unicité peut donc se produire sans stricte monotonie : celle-ci est un moyen commode de l'obtenir, pas une condition indispensable.

C'est la situation la plus fréquente en analyse : les théorèmes fournissent des conditions suffisantes, et il ne faut pas les lire comme des équivalences.

• Soit $f(x)=x+\ln x$ sur $]0;+\infty [$.

• Continuité et monotonie (les hypothèses) : $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ comme somme de fonctions dérivables, donc continue ; et $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$, donc $f$ est strictement croissante.
• Ce qui donne l'existence : les limites aux bornes. Quand $x\to 0^{+}$, $\ln x\to -\infty$ et $x\to 0$, donc $f(x)\to -\infty$ ; quand $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty$. Le réel $0$ est donc compris entre les deux limites : il est atteint. Sans cette comparaison de $k=0$ aux valeurs (ou limites) aux bornes, on n'aurait aucune existence — c'est le rôle du théorème des valeurs intermédiaires.
• Ce qui donne l'unicité : la stricte monotonie, et elle seule. Une fonction continue passant de $-\infty$ à $+\infty$ peut couper l'axe plusieurs fois ; c'est la stricte croissance qui interdit un second passage.

Conclusion : l'équation $x+\ln x=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$. Comme $f(0,5)=0,5-\ln 2\approx -0,19<0$ et $f(1)=1>0$, on a de plus $\alpha \in ]0,5;1[$.

On voit bien que les deux hypothèses jouent des rôles distincts : la continuité et l'encadrement de $k$ produisent l'existence, la stricte monotonie produit l'unicité. Confondre les deux, c'est s'exposer à conclure trop vite.