Problème — Propriété caractéristique, équivalence et conditions

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — Propriété caractéristique, équivalence et conditions.

Le chapitre 8 démontre que, dans un repère orthonormé, un point $M (x; y; z)$ appartient au plan $P$ passant par $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et de vecteur normal $n (a; b; c)$ si et seulement si $a x + b y + cz + d = 0$ , avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ . Identifier, dans cette démonstration, la chaîne d'équivalences et dire pourquoi chaque étape est réversible.
En quoi l'équation cartésienne est-elle une propriété caractéristique du plan ? Que gagne-t-on à en disposer ?
On considère la proposition : « si $M$ appartient au plan $P$ d'équation $2 x - y + z - 3 = 0$ , alors $M$ appartient à la droite $D$ passant par $B (1; 0; 1)$ et de vecteur directeur $u (1; 1; - 1)$ ». Est-elle vraie ? Sa réciproque l'est-elle ?
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 2) énonce : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a; b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une unique solution. Ses hypothèses sont-elles nécessaires ? suffisantes ?
Appliquer ce corollaire à $f (x) = x + ln x$ sur $] 0; + \infty [$ pour montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution, en distinguant soigneusement ce qui relève de l'existence et ce qui relève de l'unicité.

Corrigé

La démonstration du chapitre 8 enchaîne :

$M \in P ⟺ A M \cdot n = 0 ⟺ a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0 ⟺ a x + b y + cz + d = 0.$

La première équivalence est la définition même du vecteur normal, combinée à la caractérisation de l'orthogonalité par le produit scalaire nul (chapitre 8) : les deux énoncés sont deux façons de dire la même chose.
La deuxième est le passage à l'expression analytique du produit scalaire en repère orthonormé : c'est un calcul d'écriture, sans perte d'information.
La troisième est un développement suivi du regroupement des constantes en $d$ : opération réversible, puisque $d$ est entièrement déterminé par $A$ et $n$ .

Chaque étape étant une reformulation exacte, la chaîne se lit dans les deux sens. C'est ce qui permet de conclure par une équivalence et non par une simple implication.

Dire que l'équation est une propriété caractéristique du plan, c'est dire que les points qui la vérifient sont exactement ceux du plan : ni plus, ni moins. Elle est donc à la fois une condition nécessaire (tout point du plan la vérifie) et suffisante (tout point qui la vérifie est dans le plan) — le chapitre 8 énonce d'ailleurs explicitement les deux sens, le second sous la forme d'un « réciproquement ».

Le gain est considérable : appartenir à un plan devient une égalité numérique à vérifier. C'est ce qui permet, dans tous les problèmes du chapitre 8, de remplacer un raisonnement géométrique par un calcul.

Vérifions d'abord si $B \in P$ : $2 \times 1 - 0 + 1 - 3 = 0$ , donc oui. Un point de $D$ s'écrit $M (1 + t; t; 1 - t)$ pour $t \in R$ ; alors

$2 (1 + t) - t + (1 - t) - 3 = 2 + 2 t - t + 1 - t - 3 = 0,$

et ce, pour toute valeur de $t$ : la droite $D$ est donc incluse dans le plan $P$ .

Par conséquent :

La proposition proposée (« $M \in P ⟹ M \in D$ ») est fausse. Contre-exemple : le point $C (0; 0; 3)$ vérifie $2 \times 0 - 0 + 3 - 3 = 0$ , donc $C \in P$ ; mais s'il était sur $D$ , il faudrait $1 + t = 0$ et $t = 0$ simultanément, ce qui est impossible. Donc $C \in / D$ .
Sa réciproque (« $M \in D ⟹ M \in P$ ») est vraie, c'est précisément le calcul ci-dessus.

L'exemple est éclairant : l'implication et sa réciproque ont ici des valeurs de vérité opposées. C'est exactement l'erreur que l'on commet en confondant $D \subset P$ avec $P \subset D$ .

Les hypothèses sont suffisantes : elles garantissent l'existence et l'unicité de la solution, c'est le contenu même du corollaire.

Elles ne sont pas nécessaires. Sur $[0; 3]$ , la fonction $f (x) = x^{3} - 3 x$ n'est pas monotone : elle décroît sur $[0; 1]$ (de $0$ à $- 2$ ), puis croît sur $[1; 3]$ (de $- 2$ à $18$ ). Pourtant l'équation $f (x) = 10$ y admet une solution et une seule (voisine de $2, 61$ ) : le niveau $k = 10$ n'est atteint sur aucun point de la branche décroissante et l'est exactement une fois sur la branche croissante. L'unicité peut donc se produire sans stricte monotonie : celle-ci est un moyen commode de l'obtenir, pas une condition indispensable.

C'est la situation la plus fréquente en analyse : les théorèmes fournissent des conditions suffisantes, et il ne faut pas les lire comme des équivalences.

Soit $f (x) = x + ln x$ sur $] 0; + \infty [$ .

Continuité et monotonie (les hypothèses) : $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ comme somme de fonctions dérivables, donc continue ; et $f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{x} > 0$ sur $] 0; + \infty [$ , donc $f$ est strictement croissante.
Ce qui donne l'existence : les limites aux bornes. Quand $x \to 0^{+}$ , $ln x \to - \infty$ et $x \to 0$ , donc $f (x) \to - \infty$ ; quand $x \to + \infty$ , $f (x) \to + \infty$ . Le réel $0$ est donc compris entre les deux limites : il est atteint. Sans cette comparaison de $k = 0$ aux valeurs (ou limites) aux bornes, on n'aurait aucune existence — c'est le rôle du théorème des valeurs intermédiaires.
Ce qui donne l'unicité : la stricte monotonie, et elle seule. Une fonction continue passant de $- \infty$ à $+ \infty$ peut couper l'axe plusieurs fois ; c'est la stricte croissance qui interdit un second passage.

Conclusion : l'équation $x + ln x = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] 0; + \infty [$ . Comme $f (0, 5) = 0, 5 - ln 2 \approx - 0, 19 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ , on a de plus $α \in] 0, 5; 1 [$ .

On voit bien que les deux hypothèses jouent des rôles distincts : la continuité et l'encadrement de $k$ produisent l'existence, la stricte monotonie produit l'unicité. Confondre les deux, c'est s'exposer à conclure trop vite.

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