Problème — Quantificateurs, négation et raisonnement par l'absurde

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — Quantificateurs, négation et raisonnement par l'absurde. Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Écrire, avec les quantificateurs et dans le bon ordre, la proposition $(M)$ : « $(u_{n})$ est majorée ».
Que dirait la proposition obtenue en échangeant les deux quantificateurs de $(M)$ ? Est-elle intéressante ?
Écrire la négation de $(M)$ et retrouver, dans la démonstration du chapitre 1 du théorème « toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ », l'endroit où cette négation est utilisée.
On suppose désormais $(u_{n})$ croissante et convergente vers un réel $L$ . Démontrer par l'absurde que $u_{n} \leq L$ pour tout $n$ .
En déduire que la suite définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ , dont on admet (chapitre 1) qu'elle est croissante et convergente vers $2$ , vérifie $u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ .

Corrigé

$(M)$ : « il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \leq M$ ».

L'ordre est essentiel : le majorant $M$ est annoncé en premier, donc il ne dépend pas de $n$ . C'est un seul et même nombre qui doit convenir pour tous les termes à la fois.

En échangeant : « pour tout $n \in N$ , il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ ». Ici $M$ est choisi après $n$ , donc il peut dépendre de $n$ — et il suffit de prendre $M = u_{n}$ . Cette proposition est vraie pour n'importe quelle suite : elle n'apprend rien. Deux propositions écrites avec les mêmes mots, dans un ordre différent, peuvent donc avoir des contenus radicalement différents.

Négation de $(M)$ : « pour tout réel $M$ , il existe $n \in N$ tel que $u_{n} > M$ ».

C'est exactement le premier pas de la démonstration du chapitre 1 : « Soit $(u_{n})$ une suite croissante non majorée et $A$ un réel quelconque. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe donc un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ . » Le « $A$ quelconque » correspond au « pour tout $M$ » et le « il existe un rang $N$ » à l'existentiel. La suite de la démonstration exploite la croissance pour propager l'inégalité à tous les rangs $n \geq N$ , puis conclut par la définition de la limite $+ \infty$ .

Raisonnons par l'absurde. Supposons que la conclusion soit fausse, c'est-à-dire — négation d'une proposition universelle — qu'il existe un rang $p$ tel que $u_{p} > L$ .

Posons $ε = u_{p} - L$ , qui est strictement positif. La suite étant croissante, pour tout $n \geq p$ :

$u_{n} \geq u_{p} = L + ε .$

Considérons l'intervalle ouvert $I =] L - ε; L + ε [$ , qui contient $L$ . Aucun terme de rang $n \geq p$ n'appartient à $I$ , puisque tous sont supérieurs ou égaux à $L + ε$ .

Or, la suite convergeant vers $L$ , la définition du chapitre 1 impose que tout intervalle ouvert contenant $L$ contienne tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. En particulier $I$ devrait contenir tous les termes à partir d'un certain rang $N$ ; il suffit de considérer un rang $n \geq max (N, p)$ pour obtenir un terme qui devrait être dans $I$ et qui n'y est pas. Contradiction.

L'hypothèse de départ est donc fausse : pour tout $n$ , $u_{n} \leq L$ .

La suite est croissante et converge vers $L = 2$ . D'après la question précédente, $u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ .

Ce résultat s'obtient ici sans récurrence, alors que la majoration par $2$ se démontre habituellement par récurrence au chapitre 1. Les deux voies coexistent : la récurrence établit la majoration avant de connaître la limite (et sert à prouver la convergence), tandis que le raisonnement par l'absurde ci-dessus l'obtient après. L'ordre logique des arguments compte autant que les arguments eux-mêmes — on ne peut pas utiliser la conclusion pour établir une hypothèse dont elle dépend.

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