Problème — Quantificateurs, négation et raisonnement par l'absurde

• $(M)$ : « il existe un réel $M$ tel que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\le M$ ».

L'ordre est essentiel : le majorant $M$ est annoncé en premier, donc il ne dépend pas de $n$. C'est un seul et même nombre qui doit convenir pour tous les termes à la fois.

• En échangeant : « pour tout $n\in \mathbb{N}$, il existe un réel $M$ tel que $u_n\le M$ ». Ici $M$ est choisi après $n$, donc il peut dépendre de $n$ — et il suffit de prendre $M=u_n$. Cette proposition est vraie pour n'importe quelle suite : elle n'apprend rien. Deux propositions écrites avec les mêmes mots, dans un ordre différent, peuvent donc avoir des contenus radicalement différents.

• Négation de $(M)$ : « pour tout réel $M$, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n>M$ ».

C'est exactement le premier pas de la démonstration du chapitre 1 : « Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et $A$ un réel quelconque. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe donc un rang $N$ tel que $u_N>A$. » Le « $A$ quelconque » correspond au « pour tout $M$ » et le « il existe un rang $N$ » à l'existentiel. La suite de la démonstration exploite la croissance pour propager l'inégalité à tous les rangs $n\ge N$, puis conclut par la définition de la limite $+\infty$.

• Raisonnons par l'absurde. Supposons que la conclusion soit fausse, c'est-à-dire — négation d'une proposition universelle — qu'il existe un rang $p$ tel que $u_p>L$.

Posons $\epsilon =u_p-L$, qui est strictement positif. La suite étant croissante, pour tout $n\ge p$ :

$$u_n\ge u_p=L+\epsilon .$$

Considérons l'intervalle ouvert $I=]L-\epsilon ;L+\epsilon [$, qui contient $L$. Aucun terme de rang $n\ge p$ n'appartient à $I$, puisque tous sont supérieurs ou égaux à $L+\epsilon$.

Or, la suite convergeant vers $L$, la définition du chapitre 1 impose que tout intervalle ouvert contenant $L$ contienne tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. En particulier $I$ devrait contenir tous les termes à partir d'un certain rang $N$ ; il suffit de considérer un rang $n\ge \max (N,p)$ pour obtenir un terme qui devrait être dans $I$ et qui n'y est pas. Contradiction.

L'hypothèse de départ est donc fausse : pour tout $n$, $u_n\le L$.

• La suite est croissante et converge vers $L=2$. D'après la question précédente, $u_n\le 2$ pour tout $n$.

Ce résultat s'obtient ici sans récurrence, alors que la majoration par $2$ se démontre habituellement par récurrence au chapitre 1. Les deux voies coexistent : la récurrence établit la majoration avant de connaître la limite (et sert à prouver la convergence), tandis que le raisonnement par l'absurde ci-dessus l'obtient après. L'ordre logique des arguments compte autant que les arguments eux-mêmes — on ne peut pas utiliser la conclusion pour établir une hypothèse dont elle dépend.