Problème — Une implication, sa réciproque, sa contraposée

• Dans une implication vraie, l'hypothèse est suffisante et la conclusion est nécessaire. Donc :

• la dérivabilité en $a$ est une condition suffisante de continuité en $a$ (il suffit de savoir $f$ dérivable pour la savoir continue) ;
• la continuité en $a$ est une condition nécessaire de dérivabilité en $a$ (une fonction dérivable ne peut pas ne pas être continue).

• Réciproque : « si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$ ».

Elle est fausse. Contre-exemple, donné par le chapitre 2 : $f(x)=|x|$ et $a=0$. Cette fonction est continue en $0$ (les limites à gauche et à droite valent toutes deux $0=f(0)$), mais sa courbe présente un point anguleux : les taux d'accroissement valent $-1$ à gauche et $+1$ à droite, ils n'ont pas de limite commune, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$.

Un seul contre-exemple suffit, car la réciproque est une proposition universelle (« pour toute fonction $f$ et tout point $a$… ») : sa négation est une proposition existentielle, qu'un exemple établit.

• Contraposée : « si $f$ n'est pas continue en $a$, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ ».

Il n'y a rien à démontrer : une implication et sa contraposée sont deux formulations d'un même énoncé, toujours équivalentes. Établir $P⟹Q$, c'est du même coup établir (non $Q$) $⟹$ (non $P$). C'est ce qui distingue radicalement la contraposée de la réciproque.

• Étudions la continuité de $g$ en $2$ :

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g(x)=2+1=3,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g(x)=2^2=4.$$

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $g$ n'admet pas de limite en $2$ et n'y est pas continue (chapitre 2).

La contraposée s'applique alors directement : $g$ n'étant pas continue en $2$, elle n'y est pas dérivable. Aucun taux d'accroissement n'a été calculé — c'est tout l'intérêt pratique de la contraposée : elle transforme une question difficile (« la limite du taux d'accroissement existe-t-elle ? ») en une question facile (« les limites à gauche et à droite coïncident-elles ? »).

• Non. On a $P⟹Q$ mais pas $Q⟹P$ (question 2). Une équivalence exige les deux sens ; ici, un seul est vrai. La classe des fonctions continues est strictement plus large que celle des fonctions dérivables.