Problème — Une implication, sa réciproque, sa contraposée

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — Une implication, sa réciproque, sa contraposée. On considère les deux propositions, relatives à une fonction $f$ et à un réel $a$ de son ensemble de définition :

$P$ : « $f$ est dérivable en $a$ » et $Q$ : « $f$ est continue en $a$ ».

Le chapitre 2 affirme $P ⟹ Q$ . Traduire cette implication en termes de condition nécessaire et de condition suffisante.
Énoncer la réciproque, et la réfuter par un contre-exemple.
Énoncer la contraposée. Pourquoi n'y a-t-il rien à démontrer ?
Utiliser la contraposée pour justifier, sans aucun calcul de taux d'accroissement, que la fonction $g$ définie sur $R$ par

$g (x) = {x + 1 x^{2} si x < 2 si x \geq 2$

n'est pas dérivable en $2$ .

A-t-on $P ⟺ Q$ ?

Corrigé

Dans une implication vraie, l'hypothèse est suffisante et la conclusion est nécessaire. Donc :

la dérivabilité en $a$ est une condition suffisante de continuité en $a$ (il suffit de savoir $f$ dérivable pour la savoir continue) ;
la continuité en $a$ est une condition nécessaire de dérivabilité en $a$ (une fonction dérivable ne peut pas ne pas être continue).

Réciproque : « si $f$ est continue en $a$ , alors $f$ est dérivable en $a$ ».

Elle est fausse. Contre-exemple, donné par le chapitre 2 : $f (x) = ∣ x ∣$ et $a = 0$ . Cette fonction est continue en $0$ (les limites à gauche et à droite valent toutes deux $0 = f (0)$ ), mais sa courbe présente un point anguleux : les taux d'accroissement valent $- 1$ à gauche et $+ 1$ à droite, ils n'ont pas de limite commune, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ .

Un seul contre-exemple suffit, car la réciproque est une proposition universelle (« pour toute fonction $f$ et tout point $a$ … ») : sa négation est une proposition existentielle, qu'un exemple établit.

Contraposée : « si $f$ n'est pas continue en $a$ , alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ ».

Il n'y a rien à démontrer : une implication et sa contraposée sont deux formulations d'un même énoncé, toujours équivalentes. Établir $P ⟹ Q$ , c'est du même coup établir (non $Q$ ) $⟹$ (non $P$ ). C'est ce qui distingue radicalement la contraposée de la réciproque.

Étudions la continuité de $g$ en $2$ :

$x \to 2^{-} lim g (x) = 2 + 1 = 3, x \to 2^{+} lim g (x) = 2^{2} = 4.$

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $g$ n'admet pas de limite en $2$ et n'y est pas continue (chapitre 2).

La contraposée s'applique alors directement : $g$ n'étant pas continue en $2$ , elle n'y est pas dérivable. Aucun taux d'accroissement n'a été calculé — c'est tout l'intérêt pratique de la contraposée : elle transforme une question difficile (« la limite du taux d'accroissement existe-t-elle ? ») en une question facile (« les limites à gauche et à droite coïncident-elles ? »).

Non. On a $P ⟹ Q$ mais pas $Q ⟹ P$ (question 2). Une équivalence exige les deux sens ; ici, un seul est vrai. La classe des fonctions continues est strictement plus large que celle des fonctions dérivables.

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