Réfuter par un contre-exemple — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 11)

Réfuter par un contre-exemple

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 2

Énoncé

Réfuter par un contre-exemple. Chacune des propositions suivantes est fausse. Le montrer par un contre-exemple emprunté au livre.

« Toute suite bornée est convergente. »
« Toute fonction continue en $0$ est dérivable en $0$ . »
« Si $f^{''} (a) = 0$ , alors $A (a; f (a))$ est un point d'inflexion de $C_{f}$ . »

Contre-exemple : $u_{n} = (- 1)^{n}$ . Tous ses termes valent $1$ ou $- 1$ , donc $- 1 \leq u_{n} \leq 1$ : la suite est bornée. Pourtant, le chapitre 1 signale qu'elle « ne converge vers aucun réel et ne tend ni vers $+ \infty$ ni vers $- \infty$ ». Un seul contre-exemple suffit à réfuter une proposition universelle.
Contre-exemple : $f (x) = ∣ x ∣$ . Le chapitre 2 précise qu'elle est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (point anguleux).
Contre-exemple : $f (x) = x^{4}$ . On a $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ puis $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ , donc $f^{''} (0) = 0$ . Mais $f^{''} (x) = 12 x^{2} \geq 0$ pour tout $x$ : la dérivée seconde ne change pas de signe en $0$ , la fonction est convexe sur $R$ tout entier et l'origine n'est pas un point d'inflexion. La caractérisation du chapitre 3 exige bien un changement de signe, et pas seulement une annulation.