Application du théorème des valeurs intermédiaires

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Application du théorème des valeurs intermédiaires. Démontrer que l'équation $x^{3} + 3 x - 5 = 0$ admet au moins une solution réelle dans l'intervalle $[1, 2]$ .

Corrigé

Soit la fonction $f$ définie sur $[1, 2]$ par $f (x) = x^{3} + 3 x - 5$ .

$f$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $[1, 2]$ .
Valeurs aux bornes : $f (1) = 1^{3} + 3 (1) - 5 = - 1$ et $f (2) = 2^{3} + 3 (2) - 5 = 9$ .
On constate que $f (1) < 0$ et $f (2) > 0$ . Le nombre 0 est donc compris entre $f (1)$ et $f (2)$ .

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), il existe au moins un réel $c \in [1, 2]$ tel que $f (c) = 0$ . L'équation admet donc au moins une solution sur $[1, 2]$ .

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