Continuité par définition de limite

Rappelons la définition : $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ est définie en $a$, que ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe, et que cette limite vaut $f(a)$. Il y a donc trois points à vérifier.

• $f$ est définie en $a$ : comme $a>0$, on a $a\ne 0$ et $f(a)=\frac{1}{a}$ existe.
• La limite existe : la fonction constante $x\mapsto 1$ a pour limite 1 en $a$, la fonction $x\mapsto x$ a pour limite $a$ en $a$, et cette limite $a$ est non nulle. Le théorème sur la limite d'un quotient s'applique donc et donne

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{a}$$

• La limite vaut $f(a)$ : on a bien $\frac{1}{a}=f(a)$.

Les trois conditions de la définition étant remplies, la fonction $f$ est continue en $a$. Comme cela est vrai pour tout $a>0$, la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]0,+\infty [$.