Problème — Étude complète et résolution approchée par dichotomie

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Problème — Étude complète et résolution approchée par dichotomie. Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = x^{3} - 3 x - 1$

Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $R$ .
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement trois solutions réelles $α, β, γ$ que l'on localisera dans des intervalles de longueur 1.
On s'intéresse à la solution positive $γ$ . Démontrer que $γ \in [1, 2]$ .
Simuler les trois premières étapes de l'algorithme de dichotomie sur l'intervalle $[1, 2]$ pour déterminer un encadrement plus précis de $γ$ .

Corrigé

La fonction $f$ est polynomiale, donc dérivable sur $R$ . Sa dérivée est :

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$

Le signe de $f^{'} (x)$ est positif à l'extérieur des racines $- 1$ et $1$ , et négatif entre elles.

Limites : $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .
Extremums : $f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1) - 1 = - 1 + 3 - 1 = 1$ et $f (1) = 1^{3} - 3 (1) - 1 = - 3$ .

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $] - \infty, - 1]$ , strictement décroissante sur $[- 1, 1]$ , et strictement croissante sur $[1, + \infty [$ .

Appliquons le corollaire du TVI sur trois intervalles :

Sur $] - \infty, - 1]$ : $f$ est continue et strictement croissante. L'image de cet intervalle est $] - \infty, 1]$ . Comme $0 \in] - \infty, 1]$ , il existe une unique solution $α \in] - \infty, - 1]$ . Comme $f (- 2) = - 8 + 6 - 1 = - 3 < 0$ , on a $α \in [- 2, - 1]$ .
Sur $[- 1, 1]$ : $f$ est continue et strictement décroissante. $f (- 1) = 1 > 0$ et $f (1) = - 3 < 0$ . Comme 0 est compris entre $- 3$ et 1, il existe une unique solution $β \in [- 1, 1]$ . Comme $f (0) = - 1 < 0$ , on a $β \in [- 1, 0]$ .
Sur $[1, + \infty [$ : $f$ est continue et strictement croissante. L'image est $[- 3, + \infty [$ . Comme $0 \in [- 3, + \infty [$ , il existe une unique solution $γ \in [1, + \infty [$ . Comme $f (2) = 8 - 6 - 1 = 1 > 0$ , on a $γ \in [1, 2]$ .

L'équation $f (x) = 0$ possède donc exactement trois solutions réelles.

D'après la question précédente, $f (1) = - 3 < 0$ et $f (2) = 1 > 0$ . La fonction étant continue et strictement croissante sur $[1, 2]$ , la solution unique $γ$ appartient bien à $[1, 2]$ .

Appliquons l'algorithme de dichotomie sur $[a, b] = [1, 2]$ :

Étape 1 : le milieu est $m_{1} = \frac{1 + 2}{2} = 1, 5$ et $f (1, 5) = 3, 375 - 4, 5 - 1 = - 2, 125 < 0$ . Comme $f (1, 5) < 0$ et $f (2) > 0$ , la solution $γ$ est dans $[1, 5; 2]$ .
Étape 2 : le nouveau milieu est $m_{2} = \frac{1 , 5 + 2}{2} = 1, 75$ et $f (1, 75) = 5, 359375 - 5, 25 - 1 = - 0, 890625 < 0$ . Comme $f (1, 75) < 0$ et $f (2) > 0$ , la solution $γ$ est dans $[1, 75; 2]$ .
Étape 3 : le nouveau milieu est $m_{3} = \frac{1 , 75 + 2}{2} = 1, 875$ et $f (1, 875) \approx 6, 592 - 5, 625 - 1 = - 0, 033 < 0$ . Comme $f (1, 875) < 0$ et $f (2) > 0$ , la solution $γ$ est dans $[1, 875; 2]$ .

Ainsi, à l'issue de ces 3 étapes, on obtient l'encadrement : $1, 875 < γ < 2$ .

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