Problème — Étude complète et résolution approchée par dichotomie

• La fonction $f$ est polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est :

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Le signe de $f^{\prime }(x)$ est positif à l'extérieur des racines $-1$ et $1$, et négatif entre elles.

• Limites : ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
• Extremums : $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)-1=-1+3-1=1$ et $f(1)=1^3-3(1)-1=-3$.

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,-1]$, strictement décroissante sur $[-1,1]$, et strictement croissante sur $[1,+\infty [$.

• Appliquons le corollaire du TVI sur trois intervalles :

• Sur $]-\infty ,-1]$ : $f$ est continue et strictement croissante. L'image de cet intervalle est $]-\infty ,1]$. Comme $0\in ]-\infty ,1]$, il existe une unique solution $\alpha \in ]-\infty ,-1]$. Comme $f(-2)=-8+6-1=-3<0$, on a $\alpha \in [-2,-1]$.
• Sur $[-1,1]$ : $f$ est continue et strictement décroissante. $f(-1)=1>0$ et $f(1)=-3<0$. Comme 0 est compris entre $-3$ et 1, il existe une unique solution $\beta \in [-1,1]$. Comme $f(0)=-1<0$, on a $\beta \in [-1,0]$.
• Sur $[1,+\infty [$ : $f$ est continue et strictement croissante. L'image est $[-3,+\infty [$. Comme $0\in [-3,+\infty [$, il existe une unique solution $\gamma \in [1,+\infty [$. Comme $f(2)=8-6-1=1>0$, on a $\gamma \in [1,2]$.

L'équation $f(x)=0$ possède donc exactement trois solutions réelles.

• D'après la question précédente, $f(1)=-3<0$ et $f(2)=1>0$. La fonction étant continue et strictement croissante sur $[1,2]$, la solution unique $\gamma$ appartient bien à $[1,2]$.

• Appliquons l'algorithme de dichotomie sur $[a,b]=[1,2]$ :

• Étape 1 : le milieu est $m_1=\frac{1+2}{2}=1,5$ et $f(1,5)=3,375-4,5-1=-2,125<0$. Comme $f(1,5)<0$ et $f(2)>0$, la solution $\gamma$ est dans $[1,5;2]$.
• Étape 2 : le nouveau milieu est $m_2=\frac{1,5+2}{2}=1,75$ et $f(1,75)=5,359375-5,25-1=-0,890625<0$. Comme $f(1,75)<0$ et $f(2)>0$, la solution $\gamma$ est dans $[1,75;2]$.
• Étape 3 : le nouveau milieu est $m_3=\frac{1,75+2}{2}=1,875$ et $f(1,875)\approx 6,592-5,625-1=-0,033<0$. Comme $f(1,875)<0$ et $f(2)>0$, la solution $\gamma$ est dans $[1,875;2]$.

Ainsi, à l'issue de ces 3 étapes, on obtient l'encadrement : $1,875<\gamma <2$.