Problème — Étude d'une fonction avec paramètre réel

• En $1^{+}$ : le dénominateur tend vers $0^{+}$ et le numérateur tend vers $1+a$. Trois cas se présentent.

• Si $a>-1$, alors $1+a>0$, donc ${\lim }_{x\to 1^{+}}{f}_a(x)=+\infty$.
• Si $a<-1$, alors $1+a<0$, donc ${\lim }_{x\to 1^{+}}{f}_a(x)=-\infty$.
• Si $a=-1$, le numérateur tend lui aussi vers 0 : il n'y a pas de limite infinie automatique et il faut simplifier. Pour tout $x>1$,

$$f_{-1}(x)=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x,$$

donc ${\lim }_{x\to 1^{+}}{f}_{-1}(x)=1$. La limite est finie : dans ce cas, la courbe n'admet pas d'asymptote verticale d'équation $x=1$.

En $+\infty$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_a(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$$

• La fonction $f_a$ est un quotient de fonctions dérivables, elle est donc dérivable sur $]1,+\infty [$.

$$f_a^{\prime }(x)=\frac{(2x+a)(x-1)-(x^2+ax)(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2x+ax-a-x^2-ax}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-a}{(x-1{)}^2}$$

Le dénominateur $(x-1{)}^2$ étant strictement positif sur $]1,+\infty [$, le signe de $f_a^{\prime }(x)$ est bien celui du trinôme $x^2-2x-a$.

• Le trinôme $x^2-2x-a$ a pour discriminant $\Delta =(-2{)}^2-4(1)(-a)=4+4a=4(1+a)$. Si $a>-1$, alors $1+a>0$, donc $\Delta >0$. Le trinôme admet deux racines réelles :

$$x_1=\frac{2-2\sqrt{1+a}}{2}=1-\sqrt{1+a}\text{et}{x}_2=1+\sqrt{1+a}$$

Puisque $a>-1⟹1+a>0⟹\sqrt{1+a}>0$. Ainsi, $x_1<1$ et $x_2>1$. Sur l'intervalle $]1,+\infty [$, la seule racine est $x_2$. Le trinôme $x^2-2x-a$ (avec le coefficient devant $x^2$ positif) est négatif sur $]1,x_2[$ et positif sur $]x_2,+\infty [$. La fonction $f_a$ est donc strictement décroissante sur $]1,x_2[$ puis strictement croissante sur $]x_2,+\infty [$. Elle admet donc un unique minimum au point d'abscisse $x_2=1+\sqrt{1+a}$.

• Effectuons la division euclidienne de $x^2+ax$ par $x-1$ :

$$x^2+ax=x(x-1)+(a+1)x=x(x-1)+(a+1)(x-1)+(a+1)=(x+a+1)(x-1)+(a+1)$$

Ainsi, pour tout $x>1$ :

$$f_a(x)=x+a+1+\frac{a+1}{x-1}$$

Calculons la limite de la différence $f_a(x)-(x+a+1)$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f_a(x)-(x+a+1)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a+1}{x-1}=0$$

Comme $a\ne -1$, le reste $\frac{a+1}{x-1}$ est non nul : la courbe est distincte de la droite et s'en rapproche indéfiniment. La droite d'équation $y=x+a+1$ est donc bien une asymptote oblique à la courbe ${\mathcal{C}}_{f_a}$ en $+\infty$.

Remarque. L'hypothèse $a\ne -1$ n'est pas superflue : si $a=-1$, le reste est identiquement nul et $f_{-1}(x)=x$ pour tout $x>1$. La « droite asymptote » $y=x+a+1=x$ est alors la courbe elle-même, et il serait abusif de parler d'asymptote.