Problème — Limite et continuité sur un intervalle non borné

Limites et Continuité des fonctions · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Limite et continuité sur un intervalle non borné. Soit $f$ une fonction continue sur $[0, + \infty [$ telle que $f (0) < 0$ et $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Montrer qu'il existe un réel $A > 0$ tel que $f (A) > 0$ .
En déduire que l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution sur $[0, + \infty [$ .
Application : Montrer que l'équation $x + x^{2} - 4 = 0$ admet une unique solution sur $[0, + \infty [$ .

Corrigé

Par hypothèse, $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Par définition de la limite infinie, pour tout réel $M$ , il existe un seuil à partir duquel $f (x) > M$ . En choisissant $M = 1 > 0$ , il existe un réel $A > 0$ tel que $f (A) > 1 > 0$ . Donc $f (A) > 0$ .

Considérons la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle fermé borné $[0, A]$ .

La fonction $f$ est continue sur $[0, A]$ car elle est continue sur $[0, + \infty [$ .
On a $f (0) < 0$ et $f (A) > 0$ . Le nombre 0 est donc compris entre $f (0)$ et $f (A)$ .

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), il existe au moins un réel $c \in [0, A]$ tel que $f (c) = 0$ . Puisque $[0, A] \subset [0, + \infty [$ , l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution sur $[0, + \infty [$ .

Soit $h (x) = x + x^{2} - 4$ définie sur $[0, + \infty [$ .

$h$ est continue sur $[0, + \infty [$ (somme de fonctions continues de référence).
$h (0) = 0 + 0 - 4 = - 4 < 0$ .
$lim_{x \to + \infty} h (x) = lim_{x \to + \infty} (x + x^{2} - 4) = + \infty$ .

D'après les questions 1 et 2, il existe au moins une solution à $h (x) = 0$ sur $[0, + \infty [$ . Étudions la monotonie de $h$ pour prouver l'unicité. La fonction $h$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ :

$h^{'} (x) = \frac{1}{2 x} + 2 x$

Pour tout $x > 0$ , $h^{'} (x) > 0$ . La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $[0, + \infty [$ . D'après le corollaire du TVI, l'équation $h (x) = 0$ admet donc une unique solution sur $[0, + \infty [$ .