Problème — Prolongement par continuité

Limites et Continuité des fonctions · niveau 2

Énoncé

Problème — Prolongement par continuité. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{x + 1 - 1}{x}$

Montrer que la fonction $f$ n'est pas définie en 0.
Déterminer la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers 0 (par valeurs supérieures).
En déduire qu'il est possible de prolonger la fonction $f$ par continuité en 0. Définir ce prolongement $g$ .

Corrigé

La valeur $x = 0$ annule le dénominateur de $f (x)$ . La fonction $f$ n'est donc pas définie en 0.

En évaluant directement la limite en 0, on obtient une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ ». Levons cette indétermination en utilisant l'expression conjuguée du numérateur :

$f (x) = \frac{( x + 1 - 1 ) ( x + 1 + 1 )}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{( x + 1 ) - 1}{x ( x + 1 + 1 )} = \frac{x}{x ( x + 1 + 1 )}$

Pour tout $x > 0$ , on peut simplifier par $x$ :

$f (x) = \frac{1}{x + 1 + 1}$

Calculons la limite :

$x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim \frac{1}{x + 1 + 1} = \frac{1}{0 + 1 + 1} = \frac{1}{2}$

Puisque la limite de $f$ en 0 existe et est finie (vaut $1/2$ ), on peut prolonger $f$ par continuité en 0. La fonction prolongée $g$ est définie sur $[0, + \infty [$ par :

$g (x) = {\frac{x + 1 - 1}{x} \frac{1}{2} si x > 0 si x = 0$

Prolonger par continuité, c'est littéralement boucher un trou : la courbe de $f$ a un point manquant en $x = 0$ , et la limite indique exactement à quelle hauteur le replacer.