Démonstration d'inégalité par convexité

Soit $f(x)=e^x$. La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$. La fonction exponentielle est donc strictement convexe sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème de caractérisation, sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes. Déterminons l'équation de la tangente ${\mathcal{T}}_0$ à la courbe en $x=0$ :

$$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)⟹y=e^{0}x+e^0⟹y=x+1$$

La courbe étant située au-dessus de sa tangente en 0, on a pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

$$e^x\ge x+1$$