Dérivée de l'inverse d'une fonction

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 3 — Dérivation et Convexité

Énoncé

Dérivée de l'inverse d'une fonction. Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . Soit $f = \frac{1}{u}$ . Rappeler la formule de la dérivée de $f$ , et en déduire son sens de variation si $u$ est strictement croissante sur $I$ .

Corrigé

La fonction $f = \frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$f^{'} (x) = - \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x ) ^{2}}$

Si $u$ est strictement croissante sur $I$ , alors pour tout $x \in I$ , $u^{'} (x) > 0$ . De plus, $u (x)^{2} > 0$ car $u$ est strictement positive. Ainsi, le quotient $\frac{u ^{'} ( x )}{u ( x ) ^{2}}$ est strictement positif, et son opposé $f^{'} (x) = - \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x ) ^{2}}$ est strictement négatif. On en déduit que la fonction $f = \frac{1}{u}$ est strictement décroissante sur $I$ .

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