Dérivée de l'inverse d'une fonction

La fonction $f=\frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

$$f^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x{)}^2}$$

Si $u$ est strictement croissante sur $I$, alors pour tout $x\in I$, $u^{\prime }(x)>0$. De plus, $u(x{)}^2>0$ car $u$ est strictement positive. Ainsi, le quotient $\frac{u^{\prime }(x)}{u(x{)}^2}$ est strictement positif, et son opposé $f^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x{)}^2}$ est strictement négatif. On en déduit que la fonction $f=\frac{1}{u}$ est strictement décroissante sur $I$.