Problème — Concavité d'une fonction exponentielle

• La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ par somme et produit de fonctions de référence. Dérivée première :

$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x+1=(x-1)e^x+1$$

Dérivée seconde :

$$f^{\prime \prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$$

• Étudions le signe de $f^{\prime \prime }(x)=x{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ : La fonction exponentielle $e^x$ étant strictement positive pour tout réel $x$, la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$ est du signe de $x$ :

• Pour $x<0$, $f^{\prime \prime }(x)<0$.
• Pour $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)>0$.
• Pour $x=0$, $f^{\prime \prime }(x)=0$.

• D'après le théorème du cours :

• Sur l'intervalle $]-\infty ,0]$, $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, donc la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est concave.
• Sur l'intervalle $[0,+\infty [$, $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, donc la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est convexe.

• La dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ s'annule en 0 et change de signe autour de 0. La courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet donc un unique point d'inflexion $I$ d'abscisse $x=0$. Calculons l'ordonnée de $I$ :

$$f(0)=(0-2)e^0+0+2=-2\times 1+2=0$$

Le point d'inflexion est l'origine du repère $I(0,0)$.