Problème — Convexité et inégalité des moyennes

• Soit $f(x)=\ln (x)$. On a $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$. Comme $f^{\prime \prime }(x)<0$ pour tout $x>0$, la fonction logarithme est strictement concave sur $]0,+\infty [$.
• Par définition de la concavité, pour tous $a,b>0$, on a :

$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \frac{f(a)+f(b)}{2}⟹\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \frac{\ln (a)+\ln (b)}{2}$$

On sait que $\frac{\ln (a)+\ln (b)}{2}=\frac{1}{2}\ln (ab)=\ln (\sqrt{ab})$. L'inégalité devient :

$$\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \ln (\sqrt{ab})$$

Comme la fonction logarithme est strictement croissante sur $]0,+\infty [$, on en déduit par composition inverse :

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

Ce qui prouve que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique.

Toute la démonstration tient dans une image : la corde du logarithme passe sous sa courbe, et il suffit de la lire en son milieu.