Problème — Étude d'une fonction logarithme et branches infinies

• En $0^{+}$ : On a ${\lim }_{x\to 0^{+}}(x-1)=-1$. Puisque ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$, on a par produit ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (x)}{x}=-\infty$. Par somme de limites, on en conclut :

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$$

Interprétation géométrique : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

• En $+\infty$ : On a ${\lim }_{x\to +\infty }(x-1)=+\infty$. D'après le cours sur les croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (x)}{x}=0$. Par somme :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Pour l'asymptote oblique : calculons la différence $f(x)-(x-1)$ :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(x-1)]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0$$

La droite $D$ d'équation $y=x-1$ est donc bien une asymptote oblique à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en $+\infty$.

• Étudions le signe de la différence $f(x)-(x-1)=\frac{\ln (x)}{x}$ sur $]0,+\infty [$ : Le dénominateur $x$ étant strictement positif, la différence est du signe de $\ln (x)$ :

• Si $0<x<1$, $\ln (x)<0$ : la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est située en dessous de la droite $D$.
• Si $x>1$, $\ln (x)>0$ : la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est située au-dessus de la droite $D$.
• Si $x=1$, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et la droite $D$ se coupent au point de coordonnées $(1,0)$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme somme de fonctions dérivables :

$$f^{\prime }(x)=1-0+\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln (x)\times 1}{x^2}=1+\frac{1-\ln (x)}{x^2}=\frac{x^2+1-\ln (x)}{x^2}$$

• D'après l'indication, $x^2+1-\ln (x)>0$ pour tout $x>0$. De plus, $x^2>0$. La dérivée $f^{\prime }(x)$ est donc strictement positive sur $]0,+\infty [$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

• La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l'intervalle $I=]0,+\infty [$. D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle image $J=f(I)$ :

$$J=\left]\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\right[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$$