Problème — Étude d'une fonction logarithme et branches infinies

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 3 — Dérivation et Convexité

Énoncé

Problème — Étude d'une fonction logarithme et branches infinies. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = x - 1 + \frac{ln ( x )}{x}$

On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer la limite de $f$ en $0^{+}$ . Donner une interprétation géométrique du résultat.
Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ , puis montrer que la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ .
Étudier la position relative de la courbe $C_{f}$ et de la droite $D$ .
Calculer la dérivée $f^{'} (x)$ et montrer que pour tout $x > 0$ :

$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 1 - ln ( x )}{x ^{2}}$

On admet que pour tout $x > 0$ , $x^{2} + 1 - ln (x) > 0$ . Dresser le tableau de variations de $f$ .
Démontrer que $f$ réalise une bijection de $] 0, + \infty [$ sur $R$ .

Corrigé

En $0^{+}$ : On a $lim_{x \to 0^{+}} (x - 1) = - 1$ . Puisque $lim_{x \to 0^{+}} ln (x) = - \infty$ et $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ , on a par produit $lim_{x \to 0^{+}} \frac{l n ( x )}{x} = - \infty$ . Par somme de limites, on en conclut :

$x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty$

Interprétation géométrique : La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

En $+ \infty$ : On a $lim_{x \to + \infty} (x - 1) = + \infty$ . D'après le cours sur les croissances comparées, $lim_{x \to + \infty} \frac{l n ( x )}{x} = 0$ . Par somme :

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

Pour l'asymptote oblique : calculons la différence $f (x) - (x - 1)$ :

$x \to + \infty lim [f (x) - (x - 1)] = x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x} = 0$

La droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est donc bien une asymptote oblique à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ .

Étudions le signe de la différence $f (x) - (x - 1) = \frac{l n ( x )}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ : Le dénominateur $x$ étant strictement positif, la différence est du signe de $ln (x)$ :

Si $0 < x < 1$ , $ln (x) < 0$ : la courbe $C_{f}$ est située en dessous de la droite $D$ .
Si $x > 1$ , $ln (x) > 0$ : la courbe $C_{f}$ est située au-dessus de la droite $D$ .
Si $x = 1$ , la courbe $C_{f}$ et la droite $D$ se coupent au point de coordonnées $(1, 0)$ .

La fonction $f$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ comme somme de fonctions dérivables :

$f^{'} (x) = 1 - 0 + \frac{\frac{1}{x} \times x - ln ( x ) \times 1}{x ^{2}} = 1 + \frac{1 - ln ( x )}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - ln ( x )}{x ^{2}}$

D'après l'indication, $x^{2} + 1 - ln (x) > 0$ pour tout $x > 0$ . De plus, $x^{2} > 0$ . La dérivée $f^{'} (x)$ est donc strictement positive sur $] 0, + \infty [$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l'intervalle $I =] 0, + \infty [$ . D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle image $J = f (I)$ :

$J =] x \to 0^{+} lim f (x), x \to + \infty lim f (x) [=] - \infty, + \infty [= R$

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