Problème — Optimisation de la surface d'une boîte de conserve

• Le volume d'un cylindre est donné par : $V=\pi r^{2}h$. Puisque $V=1000$, on a $\pi r^{2}h=1000⟹h=\frac{1000}{\pi r^2}$.

• L'aire totale est la somme de l'aire latérale et de l'aire des deux bases :

$$S(r)=2\times (\pi r^2)+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\left(\frac{1000}{\pi r^2}\right)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$$

• La fonction $S$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ :

$$S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2000}{r^2}=\frac{4(\pi r^3-500)}{r^2}$$

Le dénominateur $r^2$ étant positif, le signe de $S^{\prime }(r)$ est celui de $\pi r^3-500$.

$$S^{\prime }(r)\ge 0⟺\pi r^3-500\ge 0⟺r^3\ge \frac{500}{\pi }⟺r\ge \sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42\text{ cm}$$

La fonction $S$ est donc strictement décroissante sur $\left]0,\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }},+\infty \right[$.

• L'aire est minimale pour le rayon :

$$r_0=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\approx 5,42\text{ cm}$$

Calculons la hauteur $h_0$ correspondante en utilisant $r_0^3=\frac{500}{\pi }$ :

$$h_0=\frac{1000}{\pi r_0^2}=\frac{2\times 500}{\pi r_0^2}=\frac{2\times (\pi r_0^3)}{\pi r_0^2}=2r_0$$

La hauteur optimale est égale au diamètre du cylindre, ce qui donne une boîte bien proportionnée.

Le graphique éclaire pourquoi un minimum existe : $S(r)$ est la somme de deux dépenses qui varient en sens contraire. Une boîte large gaspille du métal en fonds, une boîte étroite en gaspille en paroi ; le minimum est l'arbitrage entre les deux.