Problème — Points d'inflexion d'une famille de courbes

Dérivation et Convexité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Points d'inflexion d'une famille de courbes. Pour tout réel $k \neq = 0$ , on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $R$ par :

$f_{k} (x) = x^{3} - 3 k x^{2}$

On note $C_{k}$ sa courbe représentative.

Calculer la dérivée seconde $f_{k}^{''} (x)$ .
Montrer que pour tout $k \neq = 0$ , la courbe $C_{k}$ admet un unique point d'inflexion $I_{k}$ dont on calculera les coordonnées en fonction de $k$ .
Montrer que lorsque $k$ varie dans $R^{*}$ , le point $I_{k}$ se déplace sur une courbe fixe $Γ$ d'équation $y = - 2 x^{3}$ .

Corrigé

Calculons les dérivées successives :

$f_{k}^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 k x ⟹ f_{k}^{''} (x) = 6 x - 6 k = 6 (x - k)$

La dérivée seconde $f_{k}^{''} (x) = 6 (x - k)$ s'annule en changeant de signe en $x = k$ (elle est négative pour $x < k$ et positive pour $x > k$ ). La courbe $C_{k}$ possède donc un unique point d'inflexion $I_{k}$ d'abscisse $x_{I} = k$ . Calculons l'ordonnée correspondante $y_{I} = f_{k} (k)$ :

$y_{I} = k^{3} - 3 k (k^{2}) = k^{3} - 3 k^{3} = - 2 k^{3}$

Les coordonnées du point d'inflexion sont donc :

$I_{k} (k, - 2 k^{3})$

Soit $(x, y)$ les coordonnées de $I_{k}$ . On a :

${x = k y = - 2 k^{3} ⟹ y = - 2 x^{3}$

Lorsque $k$ varie dans $R^{*}$ , les coordonnées de $I_{k}$ vérifient l'équation $y = - 2 x^{3}$ . Le point $I_{k}$ se déplace donc bien sur la courbe fixe $Γ$ d'équation $y = - 2 x^{3}$ . Précisons que $k \neq = 0$ impose $x = k \neq = 0$ : le point $I_{k}$ ne décrit pas $Γ$ tout entière, mais la courbe $Γ$ privée de l'origine. Réciproquement, tout point de $Γ$ d'abscisse $x \neq = 0$ est le point d'inflexion de $C_{k}$ pour $k = x$ : $I_{k}$ décrit donc exactement $Γ ∖ {O}$ .