Problème — Recherche de tangentes communes

Soit $a$ l'abscisse du point de tangence sur ${\mathcal{C}}_1$ et $b$ l'abscisse du point de tangence sur ${\mathcal{C}}_2$.

• L'équation de la tangente ${\mathcal{T}}_a$ à ${\mathcal{C}}_1$ en $a$ est (avec $f^{\prime }(x)=2x$) :

$$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)⟹y=2ax-2a^2+a^2⟹y=2ax-a^2$$

• L'équation de la tangente ${\mathcal{T}}_b$ à ${\mathcal{C}}_2$ en $b$ est (avec $g^{\prime }(x)=-2x+2$) :

$$y=g^{\prime }(b)(x-b)+g(b)⟹y=(-2b+2)(x-b)-b^2+2b-3⟹y=(2-2b)x+b^2-3$$

Les deux droites sont confondues si et seulement si leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine sont égaux, d'où le système :

$$\{\begin{array}{l}2a=2-2b\\ -a^2=b^2-3\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=1-b\\ -(1-b{)}^2=b^2-3\end{array}$$

En développant la seconde équation :

$$-(1-2b+b^2)=b^2-3⟺-1+2b-b^2=b^2-3⟺2b^2-2b-2=0⟺b^2-b-1=0$$

Le discriminant est $\Delta =(-1{)}^2-4(1)(-1)=5>0$. Les solutions pour $b$ sont $b_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $b_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

• Si $b=b_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, alors le coefficient directeur est $m_1=2-2b_1=1+\sqrt{5}$, et $a_1=1-b_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. L'ordonnée à l'origine est $-a_1^2=-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2=-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. L'équation de la première tangente commune est : $y=(1+\sqrt{5})x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
• Si $b=b_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, alors le coefficient directeur est $m_2=2-2b_2=1-\sqrt{5}$, et $a_2=1-b_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. L'ordonnée à l'origine est $-a_2^2=-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2=-\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. L'équation de la deuxième tangente commune est : $y=(1-\sqrt{5})x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Il existe donc exactement deux tangentes communes aux deux courbes.