Dérivation d'un logarithme composé

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 4 — Fonction Logarithme Népérien

Énoncé

Dérivation d'un logarithme composé. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $] 1, 2 [$ par :

$f (x) = ln (- x^{2} + 3 x - 2)$

Corrigé

La fonction $f$ est de la forme $ln (u)$ avec $u (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ . Pour $x \in] 1, 2 [$ , le trinôme $u (x)$ est strictement positif (car ses racines sont 1 et 2, et le coefficient devant $x^{2}$ est négatif). La fonction est donc dérivable. Sa dérivée est $u^{'} (x) = - 2 x + 3$ . D'après la formule $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , on obtient :

$f^{'} (x) = \frac{- 2 x + 3}{- x ^{2} + 3 x - 2}$

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