Problème — Étude de la fonction $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$

• En $0^{+}$ : ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$. Par produit, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$. L'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$. En $+\infty$ : par croissance comparée, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (x)}{x}=0$. La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en $+\infty$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$$

Comme $x^2>0$, le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $1-\ln (x)$, or :

$$1-\ln (x)>0⟺\ln (x)<1⟺x<e$$

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty [$. Le maximum de $f$ est atteint en $x=e$ et vaut $f(e)=\frac{\ln (e)}{e}=\frac{1}{e}\approx 0,368$. D'où le tableau de variations complet, où l'on reporte les limites obtenues à la question 1 :

Les valeurs $-\infty$ (en $0^{+}$) et $0$ (en $+\infty$) sont des limites : elles ne sont pas atteintes, la borne $0$ étant exclue du domaine.

• L'équation de la tangente en 1 est :

$$y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)$$

On a $f(1)=\frac{\ln (1)}{1}=0$ et $f^{\prime }(1)=\frac{1-\ln (1)}{1^2}=1$. L'équation de la tangente est donc :

$$\mathcal{T}:y=x-1$$

• Étudions la différence $f(x)-(x-1)=\frac{\ln (x)-x(x-1)}{x}=\frac{\ln (x)-x^2+x}{x}$. Cette différence est complexe à étudier directement. Mais on peut utiliser l'inégalité de la tangente pour la fonction $\ln$ : on sait que la fonction $\ln$ est concave, sa courbe est donc en dessous de sa tangente en 1 d'équation $y=x-1$. Donc pour tout $x>0$, $\ln (x)\le x-1$. Puisque $x>0$, en divisant par $x$ :

$$\frac{\ln (x)}{x}\le \frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$$

Or, pour tout $x\in ]0,+\infty [$, on a l'inégalité $1-\frac{1}{x}\le x-1$ (car $1-\frac{1}{x}-(x-1)=-\frac{(x-1{)}^2}{x}\le 0$, avec égalité si et seulement si $x=1$). Donc $\frac{\ln (x)}{x}\le x-1$. La courbe ${\mathcal{C}}_f$ est donc située en dessous de sa tangente $\mathcal{T}$ en 1 sur tout $]0,+\infty [$, avec un unique point de contact en $x=1$ (où $f(1)=0$ et $1-1=0$) : ailleurs, l'une des deux inégalités ci-dessus est stricte, donc $f(x)<x-1$.