Problème — Étude de la fonction $f(x)=x-\ln (x)$

• En $0^{+}$ : ${\lim }_{x\to 0^{+}}x=0$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}-\ln (x)=+\infty$. Par somme, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$. En $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. Factorisons par $x$ :

$$f(x)=x\left(1-\frac{\ln (x)}{x}\right)$$

Comme ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (x)}{x}=0$, le terme dans la parenthèse tend vers 1. Par produit, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$

Comme $x>0$, $f^{\prime }(x)$ a le même signe que $x-1$ :

• $f^{\prime }(x)<0$ sur $]0,1[$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ ;
• $f^{\prime }(x)>0$ sur $]1,+\infty [$, donc $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty [$ ;
• $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$.

Le minimum global de $f$ est $f(1)=1-\ln (1)=1$.

• Puisque le minimum de $f$ sur $]0,+\infty [$ est 1, on en déduit que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ :

$$f(x)\ge 1>0$$

La fonction $f$ est donc strictement positive sur son domaine.

• Puisque $f(x)>0⟹x-\ln (x)>0⟹\ln (x)<x$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$. Graphiquement : la courbe de la fonction $\ln$ est entièrement située en dessous de la droite d'équation $y=x$.

• Calculons la dérivée seconde :

$$f^{\prime \prime }(x)={\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$$

Pour tout $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)>0$. La fonction $f$ est donc strictement convexe sur $]0,+\infty [$.