Problème — Famille de fonctions $f_n(x)=x^n\ln (x)$

• Un point $(x_0,y_0)$ est commun à toutes les courbes si $f_n(x_0)$ ne dépend pas de $n$. Cherchons les abscisses telles que $f_n(x_0)=f_{n+1}(x_0)$ pour tout $n$ :

$$x_0^n\ln (x_0)=x_0^{n+1}\ln (x_0)⟺x_0^n\ln (x_0)(1-x_0)=0$$

Puisque $x_0>0$, cela équivaut à $\ln (x_0)=0$ ou $x_0=1$, c'est-à-dire dans les deux cas $x_0=1$. Or $f_n(1)=1^n\ln (1)=0$ pour tout $n\ge 1$ : toutes les courbes ${\mathcal{C}}_n$ passent donc par le point fixe $A(1,0)$, et c'est le seul point commun à toutes les courbes sur $]0,+\infty [$.

• En $0^{+}$ : par croissance comparée, pour tout $n\ge 1$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^n\ln (x)=0$. En $+\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^n=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\ln (x)=+\infty$. Par produit, ${\lim }_{x\to +\infty }{f}_n(x)=+\infty$.

• La fonction $f_n$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ :

$$f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}\ln (x)+x^n\cdot \frac{1}{x}=n{x}^{n-1}\ln (x)+x^{n-1}=x^{n-1}(n\ln (x)+1)$$

Comme $x^{n-1}>0$ sur $]0,+\infty [$, le signe de $f_n^{\prime }(x)$ est celui de $n\ln (x)+1$.

$$n\ln (x)+1\ge 0⟺\ln (x)\ge -\frac{1}{n}⟺x\ge e^{-1/n}$$

• La fonction $f_n$ est donc :

• strictement décroissante sur $\left]0,e^{-1/n}\right]$ ;
• strictement croissante sur $\left[e^{-1/n},+\infty \right[$.

Le minimum est atteint en $x=e^{-1/n}$ et vaut :

$$f_n\left(e^{-1/n}\right)={\left(e^{-1/n}\right)}^n\ln \left(e^{-1/n}\right)=e^{-1}\left(-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{ne}$$

D'où le tableau de variations complet, où l'on reporte les limites obtenues à la question 2 :

La valeur $0$ placée à gauche est la limite en $0^{+}$ : elle n'est pas atteinte, la borne $0$ étant exclue du domaine.