Problème — Le niveau d'intensité acoustique (Décibels)

• Pour $I=I_0$ :

$$L(I_0)=\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{I_0}{I_0}\right)=\frac{10}{\ln (10)}\ln (1)=0\text{ dB}$$

• Pour $I=10^{-2}$ :

$$L(10^{-2})=\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{10^{-2}}{10^{-12}}\right)=\frac{10}{\ln (10)}\ln (10^{10})=\frac{10}{\ln (10)}\times 10\ln (10)=100\text{ dB}$$

• Calculons la différence de niveau sonore :

$$L(2I)-L(I)=\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{2I}{I_0}\right)-\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{I}{I_0}\right)=\frac{10}{\ln (10)}\left[\ln \left(\frac{2I}{I_0}\right)-\ln \left(\frac{I}{I_0}\right)\right]$$

En utilisant la formule du logarithme d'un quotient $\ln (A)-\ln (B)=\ln (A/B)$ :

$$L(2I)-L(I)=\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{2I/I_0}{I/I_0}\right)=\frac{10}{\ln (10)}\ln (2)\approx \frac{10}{2,3026}\times 0,6931\approx 3,01\text{ dB}$$

Doubler l'intensité sonore physique correspond donc bien à une augmentation constante d'environ 3 dB.

• Dérivons la fonction $L$ par rapport à $I$ (en écrivant $L(I)=\frac{10}{\ln (10)}(\ln (I)-\ln (I_0))$) :

$$L^{\prime }(I)=\frac{10}{\ln (10)}\times \frac{1}{I}$$

Comme $I>0$ et $\ln (10)>0$, on a $L^{\prime }(I)>0$. De plus, la fonction $I\mapsto \frac{1}{I}$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty [$ et le facteur $\frac{10}{\ln (10)}$ est une constante strictement positive : la dérivée $L^{\prime }$ est donc elle-même strictement décroissante sur $]0,+\infty [$, et ${\lim }_{I\to +\infty }{L}^{\prime }(I)=0$. Cela signifie que pour des intensités physiques déjà élevées, une même augmentation d'intensité physique $\Delta I$ produit une sensation d'augmentation sonore de plus en plus faible. L'oreille humaine protège ainsi le cerveau en compressant logarithmiquement les fortes variations de pression acoustique.

Mettre les deux échelles face à face rend le service du logarithme évident : douze puissances de dix, illisibles telles quelles, tiennent sur une règle graduée de $0$ à $120$.