Problème — Point d'intersection de deux courbes et TVI

• Les courbes se coupent en un point d'abscisse $x$ si et seulement si :

$$f(x)=g(x)⟺\ln (x)=\frac{1}{x}⟺\ln (x)-\frac{1}{x}=0$$

Soit la fonction $h$ définie sur $]0,+\infty [$ par $h(x)=\ln (x)-\frac{1}{x}$.

• La fonction $h$ est continue sur $]0,+\infty [$ (différence de fonctions de référence continues).
• La fonction $h$ est dérivable et sa dérivée est :

$$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

Pour tout $x>0$, $h^{\prime }(x)>0$. La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

• Limites : ${\lim }_{x\to 0^{+}}h(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=+\infty$.

D'après le corollaire du TVI, l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,+\infty [$. Les courbes se coupent donc en un unique point.

• Calculons les valeurs de $h$ aux bornes de l'intervalle $[1,2]$ :

• $h(1)=\ln (1)-\frac{1}{1}=-1<0$ ;
• $h(2)=\ln (2)-\frac{1}{2}\approx 0,693-0,5=0,193>0$.

Puisque $h(1)<0$ et $h(2)>0$, d'après le TVI, on a bien $\alpha \in [1,2]$.

• Par définition, $\alpha$ est la solution de l'équation $h(x)=0$, donc :

$$h(\alpha )=0⟺\ln (\alpha )-\frac{1}{\alpha }=0⟺\ln (\alpha )=\frac{1}{\alpha }$$

En multipliant chaque membre de l'égalité par $\alpha$ (qui est non nul) :

$$\alpha \ln (\alpha )=1$$

• En utilisant la relation $x^y=e^{y\ln (x)}$, on a :

$${\alpha }^{\alpha }=e^{\alpha \ln (\alpha )}$$

D'après la question précédente, $\alpha \ln (\alpha )=1$. On a donc :

$${\alpha }^{\alpha }=e^1=e$$