Problème — Charge d'un condensateur dans un circuit RC

• L'équation s'écrit $RC{u}_c^{\prime }(t)+u_c(t)=E$. En divisant par $RC$ (qui est strictement positif) :

$$u_c^{\prime }(t)=-\frac{1}{RC}{u}_c(t)+\frac{E}{RC}$$

C'est de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=-\frac{1}{RC}$ et $b=\frac{E}{RC}$.

• La solution générale de cette équation est :

$$u_c(t)=K{e}^{-\frac{1}{RC}t}-\frac{b}{a}=K{e}^{-\frac{t}{RC}}-\frac{\frac{E}{RC}}{-\frac{1}{RC}}=K{e}^{-\frac{t}{RC}}+E$$

Utilisons la condition initiale $u_c(0)=0$ :

$$u_c(0)=0⟺K{e}^0+E=0⟺K+E=0⟺K=-E$$

La tension aux bornes du condensateur au cours du temps est donc :

$$u_c(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

• En posant $\tau =RC$ :

$$u_c(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

• Puisque $\tau >0$, ${\lim }_{t\to +\infty }-\frac{t}{\tau }=-\infty ⟹{\lim }_{t\to +\infty }{e}^{-\frac{t}{\tau }}=0$. Par suite, ${\lim }_{t\to +\infty }{u}_c(t)=E$. En régime permanent (lorsque le temps devient très grand), le condensateur est complètement chargé et sa tension atteint la tension du générateur $E$.

• Pour $t=\tau$ :

$$u_c(\tau )=E\left(1-e^{-\frac{\tau }{\tau }}\right)=E(1-e^{-1})=E\left(1-\frac{1}{e}\right)$$

Puisque $e\approx 2,718$, $1-e^{-1}\approx 1-0,368=0,632$, soit environ $63\%$ de la tension maximale $E$ est atteinte au bout d'une constante de temps $\tau$.