Problème — Charge d'un condensateur dans un circuit RC

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Problème — Charge d'un condensateur dans un circuit RC. En électricité, la charge d'un condensateur de capacité $C$ à travers une résistance $R$ par un générateur de tension constante $E$ est régie par l'équation différentielle :

$R C \frac{d u _{c}}{d t} + u_{c} = E$

où $u_{c} (t)$ représente la tension aux bornes du condensateur au temps $t \geq 0$ . À l'instant initial $t = 0$ , le condensateur est déchargé, donc $u_{c} (0) = 0$ .

Mettre l'équation différentielle sous la forme $y^{'} = a y + b$ .
Résoudre cette équation différentielle avec la condition initiale $u_{c} (0) = 0$ .
On pose $τ = R C$ (la constante de temps du circuit). Écrire l'expression simplifiée de $u_{c} (t)$ en fonction de $τ$ .
Calculer la limite de $u_{c} (t)$ lorsque $t \to + \infty$ . Commenter physiquement.
Calculer la valeur exacte de $u_{c} (τ)$ en fonction de $E$ . Quel pourcentage de la tension maximale $E$ est atteint à cet instant ?

Corrigé

L'équation s'écrit $R C u_{c}^{'} (t) + u_{c} (t) = E$ . En divisant par $R C$ (qui est strictement positif) :

$u_{c}^{'} (t) = - \frac{1}{R C} u_{c} (t) + \frac{E}{R C}$

C'est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - \frac{1}{R C}$ et $b = \frac{E}{R C}$ .

La solution générale de cette équation est :

$u_{c} (t) = K e^{- \frac{1}{R C} t} - \frac{b}{a} = K e^{- \frac{t}{R C}} - \frac{\frac{E}{R C}}{- \frac{1}{R C}} = K e^{- \frac{t}{R C}} + E$

Utilisons la condition initiale $u_{c} (0) = 0$ :

$u_{c} (0) = 0 ⟺ K e^{0} + E = 0 ⟺ K + E = 0 ⟺ K = - E$

La tension aux bornes du condensateur au cours du temps est donc :

$u_{c} (t) = E (1 - e^{- \frac{t}{R C}})$

En posant $τ = R C$ :

$u_{c} (t) = E (1 - e^{- \frac{t}{τ}})$

Puisque $τ > 0$ , $lim_{t \to + \infty} - \frac{t}{τ} = - \infty ⟹ lim_{t \to + \infty} e^{- \frac{t}{τ}} = 0$ . Par suite, $lim_{t \to + \infty} u_{c} (t) = E$ . En régime permanent (lorsque le temps devient très grand), le condensateur est complètement chargé et sa tension atteint la tension du générateur $E$ .

Pour $t = τ$ :

$u_{c} (τ) = E (1 - e^{- \frac{τ}{τ}}) = E (1 - e^{- 1}) = E (1 - \frac{1}{e})$

Puisque $e \approx 2, 718$ , $1 - e^{- 1} \approx 1 - 0, 368 = 0, 632$ , soit environ $63%$ de la tension maximale $E$ est atteinte au bout d'une constante de temps $τ$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.