Problème — Équation différentielle avec second membre variable

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Problème — Équation différentielle avec second membre variable. On considère l'équation différentielle suivante sur $R$ :

$(E) : y^{'} - 2 y = 3 x^{2} - x$

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que la fonction polynôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$ .
Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $g = f - P$ est solution de l'équation homogène associée :

$(E_{0}) : y^{'} - 2 y = 0$

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sur $R$ .
Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f (0) = 1$ .

Corrigé

Si $P (x) = a x^{2} + b x + c$ est solution de $(E)$ , elle vérifie $P^{'} (x) - 2 P (x) = 3 x^{2} - x$ . Calculons $P^{'} (x) = 2 a x + b$ . En remplaçant :

$(2 a x + b) - 2 (a x^{2} + b x + c) = 3 x^{2} - x ⟺ - 2 a x^{2} + (2 a - 2 b) x + (b - 2 c) = 3 x^{2} - x$

Par identification des coefficients de polynômes de même degré, on obtient le système :

$⎩ ⎨ ⎧ - 2 a = 3 2 a - 2 b = - 1 b - 2 c = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ a = - \frac{3}{2} - 3 - 2 b = - 1 ⟺ 2 b = - 2 ⟺ b = - 1 - 1 - 2 c = 0 ⟺ c = - \frac{1}{2}$

La fonction polynôme cherchée est donc :

$P (x) = - \frac{3}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2}$

Sens direct : supposons $f$ solution de $(E)$ , donc $f^{'} - 2 f = 3 x^{2} - x$ . Comme $P$ est également solution de $(E)$ , on a $P^{'} - 2 P = 3 x^{2} - x$ . En soustrayant membre à membre :

$(f^{'} - P^{'}) - 2 (f - P) = 0 ⟺ (f - P)^{'} - 2 (f - P) = 0$

La fonction $g = f - P$ est donc bien solution de $(E_{0})$ . Sens réciproque : supposons $g = f - P$ solution de $(E_{0})$ , donc $g^{'} - 2 g = 0$ . Comme $f = g + P$ , calculons :

$f^{'} - 2 f = (g^{'} + P^{'}) - 2 (g + P) = (g^{'} - 2 g) + (P^{'} - 2 P) = 0 + 3 x^{2} - x = 3 x^{2} - x$

La fonction $f$ est donc bien solution de $(E)$ .

D'après le cours, les solutions de l'équation homogène $(E_{0}) : y^{'} = 2 y$ sont les fonctions de la forme $g (x) = C e^{2 x}$ avec $C \in R$ . Puisque $f = g + P$ , la solution générale de l'équation $(E)$ est :

$f (x) = C e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2}$

Déterminons la constante $C$ avec la condition initiale $f (0) = 1$ :

$f (0) = 1 ⟺ C e^{0} - \frac{3}{2} (0)^{2} - (0) - \frac{1}{2} = 1 ⟺ C - \frac{1}{2} = 1 ⟺ C = \frac{3}{2}$

L'unique solution est donc la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2}$

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