Problème — Équation logistique de Verhulst

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Problème — Équation logistique de Verhulst. Pour modéliser l'évolution d'une population de poissons dans un lac fermé, on utilise le modèle logistique de Verhulst. La population de poissons $P (t)$ (en milliers) au cours du temps $t$ (en années) vérifie l'équation différentielle :

$P^{'} (t) = 0, 1 P (t) (1 - \frac{P ( t )}{10})$

On suppose que la population initiale est de $2000$ poissons, soit $P (0) = 2$ .

On pose la fonction $z (t) = \frac{1}{P ( t )}$ . Justifier que la fonction $P$ ne s'annule pas, puis montrer que la fonction $z$ vérifie l'équation différentielle linéaire :

$(E^{'}) : z^{'} = - 0, 1 z + 0, 01$

Résoudre l'équation $(E^{'})$ avec la condition initiale associée à $z (0)$ .
En déduire l'expression de $P (t)$ en fonction de $t$ .
Déterminer la limite de la population de poissons lorsque $t \to + \infty$ . Commenter la signification de la valeur 10 (en milliers) dans ce modèle.

Corrigé

La fonction $P$ est dérivable, donc continue, sur $[0; + \infty [$ : il en est de même de la fonction $a : t \mapsto - 0, 1 + 0, 01 P (t)$ , qui admet donc sur cet intervalle une primitive $A$ (toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives : voir le chapitre 6), que l'on choisit telle que $A (0) = 0$ . Posons alors :

$h (t) = P (t) e^{A (t)}$

La fonction $h$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et, pour tout $t \geq 0$ :

$h^{'} (t) = (P^{'} (t) + A^{'} (t) P (t)) e^{A (t)}$

Or, en développant l'équation, $P^{'} (t) = 0, 1 P (t) - 0, 01 P (t)^{2}$ , tandis que $A^{'} (t) P (t) = (- 0, 1 + 0, 01 P (t)) P (t) = - 0, 1 P (t) + 0, 01 P (t)^{2}$ . Ces deux quantités sont opposées, donc $h^{'} (t) = 0$ pour tout $t \geq 0$ . La fonction $h$ est donc constante sur $[0; + \infty [$ : pour tout $t \geq 0$ , $h (t) = h (0) = P (0) e^{0} = 2$ . On en déduit :

$P (t) = 2 e^{- A (t)}$

Comme l'exponentielle est strictement positive, $P (t) > 0$ pour tout $t \geq 0$ : la fonction $P$ ne s'annule jamais. Dérivons la fonction $z (t) = \frac{1}{P ( t )}$ :

$z^{'} (t) = - \frac{P ^{'} ( t )}{P ( t ) ^{2}} = - \frac{0 , 1 P ( t ) ( 1 - \frac{P ( t )}{10} )}{P ( t ) ^{2}} = - \frac{0 , 1 ( 1 - \frac{P ( t )}{10} )}{P ( t )} = - \frac{0 , 1}{P ( t )} + 0, 01 = - 0, 1 z (t) + 0, 01$

La fonction $z$ est bien solution de l'équation linéaire $z^{'} = - 0, 1 z + 0, 01$ .

L'équation différentielle $(E^{'})$ est de la forme $z^{'} = a z + b$ avec $a = - 0, 1$ et $b = 0, 01$ . La solution générale de $(E^{'})$ est :

$z (t) = C e^{- 0, 1 t} - \frac{0 , 01}{- 0 , 1} = C e^{- 0, 1 t} + 0, 1$

La condition initiale est $z (0) = \frac{1}{P ( 0 )} = \frac{1}{2} = 0, 5$ .

$z (0) = 0, 5 ⟺ C e^{0} + 0, 1 = 0, 5 ⟺ C = 0, 4$

L'unique solution de $(E^{'})$ est donc :

$z (t) = 0, 4 e^{- 0, 1 t} + 0, 1$

Par définition, $P (t) = \frac{1}{z ( t )}$ , d'où :

$P (t) = \frac{1}{0 , 4 e ^{- 0, 1 t} + 0 , 1} = \frac{10}{4 e ^{- 0, 1 t} + 1}$

Comme $lim_{t \to + \infty} - 0, 1 t = - \infty ⟹ lim_{t \to + \infty} e^{- 0, 1 t} = 0$ . Par limite de quotient, on obtient :

$t \to + \infty lim P (t) = \frac{10}{0 + 1} = 10 milliers$

La population limite de poissons dans le lac est de $10000$ poissons. La valeur $10$ (en milliers) correspond à la capacité de charge du lac, c'est-à-dire la population maximale que l'écosystème du lac peut supporter de manière durable.

L'allure de la courbe explique le succès de ce modèle : contrairement à une exponentielle pure, il refuse de croître indéfiniment. Le facteur $(1 - \frac{P}{10})$ agit comme un frein qui se serre à mesure que le lac se remplit.

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