mathématiques (terminale) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Problème — Modélisation de la croissance d'une population de bactéries

Fonction Exponentielle et Équations Différentielles · niveau 2

Énoncé

Problème — Modélisation de la croissance d'une population de bactéries. Dans un milieu de culture de laboratoire, la population de bactéries (en milliers) au cours du temps $t$ (en heures) est modélisée par la fonction $N (t) = N_{0} e^{k t}$ , où $N_{0}$ est la population initiale et $k$ une constante réelle positive.

La population de bactéries initiale est de $1000$ bactéries (soit $N_{0} = 1$ ). Exprimer $N (t)$ en fonction de $k$ et $t$ .
Au bout de 2 heures, la population a doublé et atteint $2000$ bactéries. Démontrer que la constante $k$ vaut $\frac{l n ( 2 )}{2}$ .
En déduire la population de bactéries au bout de 5 heures (arrondir à l'entier le plus proche).
Au bout de combien de temps la population de bactéries dépassera-t-elle $100000$ bactéries ( $N (t) > 100$ ) ? Donner la valeur exacte puis une approximation en heures et minutes.

Corrigé

Avec $N_{0} = 1$ , la population (en milliers) est modélisée par : $N (t) = e^{k t}$ .

On sait que $N (2) = 2 ⟺ e^{2 k} = 2$ . En appliquant la fonction logarithme :

$2 k = ln (2) ⟺ k = \frac{ln ( 2 )}{2} \approx 0, 3466$

L'expression générale de la population est : $N (t) = e^{\frac{l n ( 2 )}{2} t}$ . Au bout de 5 heures ( $t = 5$ ) :

$N (5) = e^{2, 5 l n (2)} = e^{l n (2^{2, 5})} = 2^{2, 5} = 32 \approx 5, 657 milliers$

La population de bactéries après 5 heures est d'environ 5657 bactéries.

On cherche à résoudre $N (t) > 100 ⟺ e^{\frac{l n ( 2 )}{2} t} > 100$ . En appliquant le logarithme :

$\frac{ln ( 2 )}{2} t > ln (100) ⟺ t > \frac{2 ln ( 100 )}{ln ( 2 )} = \frac{4 ln ( 10 )}{ln ( 2 )}$

Calculons la valeur approchée :

$t > \frac{2 \times 4 , 60517}{0 , 69315} \approx 13, 29 heures$

Exprimons la fraction en minutes : $0, 29 h \times 60 min/h \approx 17 minutes$ . La population de bactéries dépassera $100000$ après environ 13 heures et 17 minutes.

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