Problème — Température d'une tasse de café (Loi de Newton)

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Problème — Température d'une tasse de café (Loi de Newton). Une tasse de café bien chaud est préparée et sa température initiale est de $8 0^{\circ}$ C. On la place dans une pièce à température constante de $2 0^{\circ}$ C. On note $f (t)$ la température du café (en $^{\circ}$ C) au cours du temps $t$ (en minutes). D'après la loi de refroidissement de Newton, le taux de variation de la température du café est proportionnel à la différence entre cette température et celle de l'air ambiant. La fonction $f$ vérifie ainsi l'équation différentielle :

$(E) : y^{'} = - 0, 05 (y - 20)$

Mettre l'équation $(E)$ sous la forme $y^{'} = a y + b$ .
Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ avec la condition initiale $f (0) = 80$ .
Déterminer la température du café après 20 minutes (arrondir à $0, 1^{\circ}$ C près).
Au bout de combien de temps la température du café descendra-t-elle en dessous de $3 0^{\circ}$ C ?

Corrigé

En développant l'expression de l'équation différentielle :

$y^{'} = - 0, 05 y + 1$

C'est de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = - 0, 05$ et $b = 1$ .

La solution générale de l'équation est :

$f (t) = C e^{- 0, 05 t} - \frac{1}{- 0 , 05} = C e^{- 0, 05 t} + 20$

Utilisons la condition initiale $f (0) = 80$ :

$C e^{0} + 20 = 80 ⟺ C + 20 = 80 ⟺ C = 60$

L'expression de la température en fonction de $t$ est donc :

$f (t) = 60 e^{- 0, 05 t} + 20$

Pour $t = 20$ minutes :

$f (20) = 60 e^{- 0, 05 \times 20} + 20 = 60 e^{- 1} + 20 \approx 60 \times 0, 36788 + 20 \approx 22, 07 + 20 = 42, 07 \approx 42, 1^{\circ} C$

On cherche à résoudre $f (t) < 30 ⟺ 60 e^{- 0, 05 t} + 20 < 30$ .

$60 e^{- 0, 05 t} < 10 ⟺ e^{- 0, 05 t} < \frac{1}{6}$

En appliquant le logarithme (qui conserve le sens des inégalités car il est strictement croissant) :

$- 0, 05 t < ln (\frac{1}{6}) ⟺ - 0, 05 t < - ln (6) ⟺ t > \frac{ln ( 6 )}{0 , 05} = 20 ln (6)$

Calculons la valeur numérique :

$t > 20 \times 1, 79176 \approx 35, 84 minutes$

Puisque $0, 84 min \times 60 s/min \approx 50 secondes$ , la température passera sous le seuil de $3 0^{\circ}$ C après 35 minutes et 50 secondes.

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